概率

排列组合

均值与方差

2. 均值方差的性质

   • $E(aX+b) = aE(X) + b$
   • $D(aX+b) = a^2D(X)$

3. 两点分布与二项分布的均值、方差

   • 若$X$服从两点分布，则$E(X) = p$,$D(X) = p(1-p)$
   • 若$X \\sim B(n, p)$，则$E(X) = np$，$D(X) = np(1-p)$

不等式

（1）$\\frac{a+b}{2}\\geq\\sqrt{ab}$

（2）$a^2+b^2\\geq2ab$

（3）${a+b+c}{3}\\geq{(abc)}^\\frac{1}{3}$

（4）$a^3+b^3+c^3\\geq 3abc$

（5）$\\frac{a_1+a_2+\\dots+a_n}{n} \\geq {(a_1a_2…a_n)}^\\frac{1}{n}$

（6）$\\frac{2}{\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}}\\leq\\sqrt{ab}\\leq\\frac{a+b}{2}\\leq\\sqrt{\\frac{a^2+b^2}{2}}$

1. 均值不等式：

   • 两数均值不等式：$\\frac{a+b}{2} \\geq \\sqrt {ab}$
   • n 数均值不等式：$$\\frac {a_1+a_2+ \\cdots + a_n}{n} \\geq \\sqrt [n]{a_1a_2 \\cdots a_n}$$
   • 调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数
   • $\\frac {2}{\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}} \\leq \\sqrt{ab} \\leq \\frac {a+b}{2} \\leq \\sqrt {\\frac{a^2 + b^2}{2}}$
2. 柯西不等式：$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \\geq (ab + cd)^2$
3. 糖水不等式：$\\frac {b}{a} < \\frac {b+c}{a+c}$

不等式拓展阅读

三角函数

特殊值

诱导公式

和差角公式

• $\\cos (a+b) = \\cos a \\cos b - \\sin a \\sin b$
• $\\cos (a-b) = \\cos a \\cos b + \\sin a \\sin b$
• $\\sin (a \\pm b) = \\sin a \\cos b \\pm \\cos a \\sin b$
• $\\tan (a+b)=\\frac{\\tan a+ \\tan b}{1 - \\tan a \\cdot \\tan b}$
• $\\tan (a-b)=\\frac{\\tan a- \\tan b}{1+ \\tan a \\cdot \\tan b}$

和差化积

• $\\sin a+ \\sin b=2 \\sin \\frac{a+b}{2} \\cos \\frac{a-b}{2}$
• $\\sin a- \\sin b = 2 \\cos \\frac{a+b}{2} \\sin \\frac{a-b}{2}$
• $\\cos a+ \\cos b = 2 \\cos \\frac{a+b}{2} \\cos \\frac{a-b}{2}$
• $\\cos a- \\cos b = -2 \\sin \\frac{a+b}{2} \\sin \\frac{a-b}{2}$
• $\\tan a \\pm \\tan b = \\frac {\\sin (a \\pm b)}{\\cos a \\cdot \\cos b}$
• $\\cot a \\pm \\cot b = \\pm \\frac {\\sin (a \\pm b)}{\\sin a \\cdot \\sin b}$

积化和差

• $\\sin \\alpha \\cos \\beta = \\frac{1}{2}[\\sin (\\alpha + \\beta) + \\sin(\\alpha - \\beta)]$
• $\\cos \\alpha \\sin \\beta = \\frac{1}{2}[\\sin (\\alpha - \\beta) + \\sin(\\alpha - \\beta)]$
• $\\cos \\alpha \\cos \\beta = \\frac{1}{2}[\\cos (\\alpha + \\beta) + \\cos(\\alpha - \\beta)]$
• $\\sin \\alpha \\sin \\beta = - \\frac{1}{2}[\\cos (\\alpha - \\beta) + \\cos(\\alpha - \\beta)]$

二倍角

• $\\sin (2x) = 2 \\sin(x) \\cos(x)$
• $\\cos (2x) = \\cos^2(x) - \\sin^2(x) = 2 \\cos^2(x) - 1 = 1 - 2 \\sin^2(x)$
• $\\tan (2x) = \\frac{2 \\tan a}{1 - \\tan^2 a}$

正弦定理

$$\\frac{a}{\\sin(A)}=\\frac{c}{sin(C)}=\\frac{c}{sin(C)}=2R$$

余弦定理

$$cos(C) = \\frac {a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

升幂降角

升角降幂

$$S_{\\triangle ABC} = \\frac {1}{2}AB \\sin C$$

向量

数列

$a_n = a_1 + (n-1)d$

若$a_n$是等差数列，则有

$$S_n = \\frac {(a_1 + a_n) * n}{2}$$

$a_n = a_1 q^{n-1}$

若$a_n$是等比数列，则有

$$S_n = \\frac {a_1 * (1 - q^n)}{1-q}$$

$a_n = S_n - S_{n-1}$

1. 裂项相消

   1. $a_n=\\frac{1}{n(n+1)}$

$$\\begin{aligned}S_n&=a_1+a_2+a_3+\\cdots+a_n \\\\ &=\\frac{1}{1\\times 2}+\\frac{1}{2\\times 3}+\\cdots+\\frac{1}{n(n+1} \\\\ &=\\frac{1}{1}-\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2}-\\frac{1}{3}+\\cdots+\\frac{1}{n}-\\frac{1}{n+1} \\\\ &=1-\\frac{1}{n+1}\\end{aligned}$$

2. 错位相减

   函数

奇函数：$f(x) = -f(x)$

偶函数：$f(x)=f(-x)$
$a^r \\times a^s = a^{r+s}$
${(ab)}^r = a^rb^r$
${(a^r)}^s=a^{rs}$

二次函数

1. $\\Delta=b^2-4ac$
2. $x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2ab}$
3. 韦达定理

$\\left\\{\\begin{aligned}x&=1\\\\y&=2+x\\end{aligned}\\right.$

复数

$a+bi$

空间几何

$S_{圆柱体}=2\\pi r(r+l)$
$V_{柱体}=Sh$
$S_{圆锥}$
$V_{锥}$
$S_{圆台}$
$V_{台}$
$S_{球}$
$V_{球}$

解析几何

直线$y = kx + b$$Ax + By + C = 0$
$y = \\frac {1}{x}$
$y = ax^2$

圆锥曲线

圆$x^2 + y^2 = r^2$
椭圆$\\frac {x^2}{a^2} + \\frac {y^2}{b^2} = 1$
与椭圆相交的直线，交点线段长：$|AB| = \\sqrt{1+k^2}|x_1 - x_2| = \\sqrt{1+\\frac{1}{k^2}}|y_1 - y_2|$
抛物线$x = 2py$
抛物线焦点弦长：$|AB| = x_1 + x_2 + p = \\frac{2p}{\\sin^2 \\theta} \\geq 2p$

$\\frac{1}{|AF|}+\\frac{1}{|BF|} = \\frac{2}{p}$

$x_1x_2 = \\frac{p^2}{4}$ $y_1y_2 = -p^2$

$|AF| = \\frac{p}{1- \\cos \\theta}$$|BF| = \frac{p}{1+ \cos \theta}$

$S_{\\triangle ABC} = \\frac{p^2}{2 \\sin \\theta}$

双曲线$\\frac {x^2}{a^2} - \\frac {y^2}{b^2} = 1$

渐近线$y = \\pm \\frac {b}{a} x$

斜率公式：$k_{p_1p_2} = \\frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$

倾斜角$\\alpha$：$k = \\tan \\alpha (\\alpha \\neq \\frac{\\pi}{2})$

点到直线距离公式：$d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2+B^2}}$

中点公式：$x = \\frac{x_1+x_2}{2}$$x = \frac{y_1+y_2}{2}$

重心公式：$x = \\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$$y = \frac{y_1+y_2+y_3}{3}$

线段长度：$s=\\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

对数

$(N>0,a>0,a\\neq 1)$
$\\log_a{MN}=\\log_aM+\\log_aN$
$\\log^a{\\frac{M}{N}}=\\log_aM-\\log_aN$
$\\log_a{N^n}=n\\log_aN$
$a^{\\log_a{N}} = N$
$\\log_a{a} = 1$
$\\log_a{1} = 0$
$(a>0且a \\neq 1, c>0 且 c \\neq 1)$
$\\log_a{b} = \\frac{\\log_c{b}}{\\log_c{a}}$

导数

https://zhuanlan.zhihu.com/p/41855459
https://www.mohu.org/info/symbols/symbols.htm
https://texwiki.texjp.org/?LaTeX%E5%85%A5%E9%96%80%2F%E7%B0%A1%E5%8D%98%E3%81%AA%E6%95%B0%E5%BC%8F%282%29#ma22efee