2020年10月

微积分初步

函数、导数与微分

我们首先学习导数和微积分等概念和有关的基本运算方法

变量、常量和函数

会变化的量叫变量,不会变化的量叫做常量

pi<const> = 3.14159265357
x = 3

自变量和因变量
现有两个互相联系的两个变量$x$和$y$,如果当$x$在其变域$\mathscr{D}$内任意取一数值时,都有确定的值与之对应,则称$y$时$x$的函数,$x$叫做自变量,函数$y$又称作因变量,写作:
$$y=f(x)$$

变域$\mathscr{D}$为自变量的变化范围,称作函数$f(x)$的定义域,而所有的数值则构成$y$的值域$\mathscr{R}$例如,

若$y$为$z$的函数,$y=f(x)$;而$z$又是变量$x$的函数,即$z=g(x)$,则称$y$为$x$的复合函数,记作
$$y=\phi(x)=f[g(x)]$$

导数

daoshu = function (fx, x, dx)
    assert (fx == "function", "第一个[参数]^(Parameter)必须是一个函数")
    assert (x, "请输入你想要计算的那个点")
    if not dx then dx = 1E-12 end
    return (fx(x+dx)-fx(x))/dx
end

如此这般操作,我们就实现了一个拥有强鲁棒性的导数计算工具,但是由于计算机底层运算本身所具有的不精确性,而且我们也没有使用较为复杂的方法进行计算,可能会导致结果有所偏差,但是误差应该会在1%以下

函数的极值点和极值

微分

不定积分

原函数

不定积分

不定积分的运算法则

定积分

定积分的概念

定积分的主要性质

牛顿-莱布尼茨公式