2020年11月

好耶!是高等数学!

$$ \lim_{x\to 1}{\frac{x^x-x}{\ln{x}-x+1}} $$

极限、级数、泰勒与麦克劳林

系统中常见 $(x\to 0)$

$$ \begin{aligned} \tan{x}-\sin{x}&=\frac{1}{2}x^3+o(x^3) \\ x-\sin{x}&=\frac{1}{6}x^3+o(x^3) \\ \arcsin{x}-x&=\frac{1}{6}x^3+o(x^3) \\ \tan{x}-x&=\frac{1}{3}x^3+o(x^3) \\ x-\arctan{x}&=\frac{1}{3}x^3+o(x^3) \end{aligned} $$

还可以得到 $(x\to 0)$

$$ \begin{aligned} x-\ln{(1+x)}&\sim\frac{x^2}{2} \\ e^x-1-x&\sim\frac{x^2}{2} \\ 1-\cos^a{x}&\sim\frac{ax^2}{2} \\ f(x)^{g(x)}-1&\sim g(x)\left[f(x)-1\right] (当f(x)\to 1且f(x)^{g(x)}\to 1) \end{aligned} $$

几个常见的泰勒公式 $(x\to 0)$

$$ \begin{aligned} \sin{x}&=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3) &\arcsin{x}&=x\frac{x^3}{6}+o(x^3) \\ \cos{x}&=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4) &\arccos{x}&=? \\ \tan{x}&=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3) &\arctan{x}&=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3) \\ e^x&=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3) &\ln{(1+x)}&=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3) \\ (1+x)^\alpha&=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2) \end{aligned} $$

有时还会用到

$$ (1+x)^{\frac{1}{x}}=e-\frac{e}{2}x+\frac{11e}{24}x^2+o(x^2) $$

另外

$$ \begin{aligned} 对于(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2) \\ 当\alpha=\frac{1}{2},则\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+o(x^2) \\ 当\alpha=\frac{1}{3},则\sqrt[3]{1+x}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}x^3+o(x^2) \end{aligned} $$

等价
$$e=\lim_{n\to\infty}{{(1+\frac{1}{n})}^{n}}$$
$$Exp(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$
$$e = Exp(1) = \sum_{i=0}^{\infty}{\frac{x^i}{i!}}$$
$$定义 e 为唯一实数 x 使得 \\ \int_1^x{\frac{1}{t}\mathrm{d}x = 1}$$
$$定义 e 为唯一实数 x 使得 \\ \lim_{h\to 0}{\frac{x^h-1}{h}} = 1$$

$$ \begin{aligned} &(1+\frac{1}{n})^n \\ =&1+\mathrm{C}_n^1\frac{1}{n}+\mathrm{C}_n^2\frac{1}{n^2}+\cdots+\mathrm{C}_n^k\frac{1}{n^k}+\cdots+\mathrm{C}_n^n\frac{1}{n^n} \\ =&1+\frac{n!}{1!(n-1)!n}+\frac{n!}{2!(n-2)!n^2}+\cdots+\frac{n!}{k!(n-k)!n^k}+\cdots+\frac{n!}{n!(n-n)!n^n} \\ \to&1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots \end{aligned} $$

导数公式
$C'=0$$(x^a)'=ax^{a-1}$
$\sin'{x}=\cos{x}$$\cos'{x}=-\sin{x}$
$\tan'{x}=\sec^2{x}$$\cot'{x}=-\csc^2{x}$
$\sec'{x}=\sec{x}\tan{x}$$\csc'{x}=\csc{x}cot{x}$
$(e^x)'=e^x$$(a^x)'=a^x\ln{a},(a\gt 0,a\neq 1)$
$(\ln{x})'=\frac{1}{x}$$(\log_ax)'=\frac{1}{x\ln{a}},(a\gt0,a\neq 1)$
$\arcsin'{x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$\arccos'{x}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan'{x}=\frac{1}{1+x^2}$$arccot'{x}=-\frac{1}{1+x^2}$
$(u\pm v)'=u'\pm v'$$(Cu)'=Cu'$
$(uv)'=u'v + uv'$$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$
$[f^{-1}(x)]'=\frac{1}{f'(x)}$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$

部分可以参考高中数学公式合集

三角函数
$\tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$$cot{x}=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}$
$\sec{x}=\frac{1}{\cos{x}}$$\csc{x}=\frac{1}{\sin{x}}$

常用诱导公式:

$$ \begin{aligned} \cos{x}&=\sin{(x+\frac{\pi}{2})}=\sin{(\frac{\pi}{2}-x)} \\ \sin{x}&=\cos{(x-\frac{\pi}{2})}=\cos{(\frac{\pi}{2}-x)} \\ \tan{x}&=\cot{(\frac{\pi}{2}-x)} \\ \sin{(\pi+x)}&=-\sin{x} \\ \cos{x}&=\sin{(x+\frac{\pi}{2})} \\ \end{aligned} $$

三角换元
$\cos^2{x}=2\cos^2{x}-1$$$
$\cos^2{x}=\cfrac{(1+\cos{2x})}{2}$$$
$\sin^2{x}=\cfrac{(1-\cos{2x})}{2}$$$
$\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$$$
$\tan^2{x}+1=\sec^2{(x)}$$$
$1+\cot^2{x}=\csc^2{(x)}$$$
$\cos{A}\cos{B}=\frac{1}{2}\left[\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}\right]$$$
$\sin{A}\sin{B}=\frac{1}{2}\left[\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}\right]$$$
$\sin{A}\cos{B}=\frac{1}{2}\left[\sin{(A-B)}+\sin{(A+B)}\right]$$$
$\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin{(\cfrac{\alpha+\beta}{2})}\cos{\cfrac{(\alpha-\beta)}{2}}$$$
$\sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\cos{(\cfrac{\alpha+\beta}{2})}\sin{\cfrac{(\alpha-\beta)}{2}}$$$
$\cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos{(\cfrac{\alpha+\beta}{2})}\cos{(\cfrac{\alpha-\beta}{2})}$$$
$\cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{(\cfrac{\alpha+\beta}{2})}\sin{(\cfrac{\alpha-\beta}{2})}$$$
$\sin{(A\pm B)}=\sin{A}\cos{B}\pm\cos{A}\sin{B}$$$
$\cos{(A\pm B)}=\cos{A}\cos{B}\mp\sin{A}\sin{B}$$$

$$\sin (2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$$

$$\cos (2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2 \cos^2(x) - 1 = 1 - 2 \sin^2(x)$$

$$\tan (2x) = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$$

$\sqrt{a^2-x^2}$ 当 $x\to a\sin{\theta}$

$\sqrt{x^2+a^2}$ 当 $x\to a\tan{\theta}$

$\sqrt{x^2-a^2}$ 当 $x\to a\sec{\theta}$

$\sqrt{x}$

立方差公式

$$ \begin{aligned} (a\pm b)^3&=a^3+3ab^2\pm3a^2b-b^3 \\ &=(a\pm b)\times(a^2\mp ab+b^2) \end{aligned} $$

$$ f(x)=\lim_{n\to\inf}{\sqrt[n]{{|x-2|}^{3n}+{(x-2)}^{2n}}}=max\left\{{|x-2|}^3,{(x-2)}^2\right\} $$

有理分式

$$ {\left(\frac{1-x}{1+x^2}\right)}^2=\frac{Ax+b}{1+x^2}+\frac{Cx+D}{{\left(1+x^2\right)}^2} $$

一个超奇怪的格式混合体

$$ \begin{matrix} \hline \hline {\color{#3e3e3e}这可真是一个\boxed{新发现}} & 一 & 二 & 三 & 四 \\ \hline \hline 23012 & 1 & 2 &3 & 4 \\ \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix} & 11 & 22 & 33 & 44 \\ \hline \hline \end{matrix} $$

TODO:对数的运算法则
TODO:tan的和差化积

熟练运用公式和定义 $x+\frac{1}{x}$

$$ x+\frac{1}{x} 的性质: x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2 $$

$$ 常用题型,给定符合函数的表达式,例如 f(x+\frac{1}{x})=x^2+\frac{1}{x^2}, $$

$$ 求外层函数 f(x) 的表达式, $$

$$ 则 f(x+\frac{1}{x})=x^2+\frac{1}{x}=(x+\frac{1}{x})^2-2,即 f(x)=x^2-2 $$

极限

第一类间断点左右极限存在且相等可去间断点
第一类间断点左右极限存在且不相等跳跃间断点
第二类间断点左右极限至少有一个不存在无穷间断点
第二类间断点左右极限至少有一个震荡不存在振荡间断点

函数如果在一点上没有定义,也算是间断点,只要不连续就是间断点

左右极限不存在也可以被称为“极限不存在”
例如: $f(x)=g(x)=\frac{x}{|x|}$
在 $x=0$ 处,左右极限不相等,极限不存在

积分中值定理 如果函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续,那么在开区间 $(a,b)$ 内总有一点 $c$,满足 $f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^b{f(x)\mathrm{d}x}$

罗尔定理 假设函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 内连续,在开区间 $(a,b)$ 内可导。如果 $f(a)=f(b)$,那么在开区间 $(a,b)$ 内至少存在一点 $c$,使得 $f'(c)=0$

牛顿法 假设 $a$ 是对方程 $f(x)=0$ 的解的一个近似,如果令 $$b=a-\frac{f(a)}{f'(a)},$$ 则在很多情况下, $b$ 是个比 $a$ 更好的近似

中值定理 假设函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 内连续,在开区间 $(a,b)$ 内可导,那么在开区间 $(a,b)$ 内至少有一点 $c$ 使得 $$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

2.2 数项级数的基本概念
2.4 无穷小量和无穷大量

$$\lim_{x\to\infty}{\frac{\sin{x}}{x}}$$

$$\lim_{x\to\infty}{\frac{x\arctan{x}}{x^2+1}}$$

$$\lim_{x\to\infty}{\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\cdots+\frac{m}{n^2}\right)},其中m\in N$$

4.2 洛必达法则

如下几种未定型可以使用洛必达法则,其他未定式可以设法转换为 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 型

$0\cdot \infty$、 $\infty - \infty$、 $0^0$、 $1^{\infty}$、 $\infty^0$

但是洛必达法则并不是全能的,如果不断求导并不能使项变得更加简单或者消除,使用洛必达法则无法求出其极限

洛必达的使用条件

  1. 满足 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型
  2. $f(x)$,$g(x)$在 $x_0$ 去心邻域内可导,且 $g'(x)\neq 0$
  3. $lim_{x\to x_0}{\frac{f'(x)}{g'(x)}} = a$( $a$ 为有限实数或者无穷大),则

$$ \lim{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim{\frac{f'(x)}{g'(x)}} = a $$

求导时注意函数应该怎么求导更简化

$$ \lim_{x\to 0^{+}}{x\ln{x}} = \lim_{x\to 0^{+}}{\frac{\ln{x}}{1/x}} = \lim_{x\to 0^{+}}{\frac{1/x}{-1/x^0}} = 0 $$

如果反过来

$$ \lim_{x\to 0^{+}}{x\ln{x}} = \lim_{x\to 0^{+}}{\frac{x}{1/\ln{x}}} = \lim_{x\to 0^{+}}{-x(\ln{x})^2} $$

函数越来越复杂了

例 4.2.1:

求极限 $\lim_{x\to 1}{\frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1}}$

当 $x\to 1$ 时,分子 $x^2-1 \to 1$,分母 $\sqrt{x}-1 \to 0$,所以这是 $\frac{0}{0}$ 型未定式

$$ \begin{aligned} \lim_{x \to 1}{\frac{x^-1}{\sqrt{x}-1}} &= \lim_{x\to 1}{\frac{(x^-1)'}{(\sqrt{x}-1)'}} \\ &=\lim_{x \to 1}{\frac{2x}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}} = 4 \end{aligned} $$

例 4.2.2:
求极限 $\lim_{x \to 0}{\frac{1-\cos{x}}{x^2}}$

$$ \begin{aligned} \lim_{x \to 0}{\frac{1-\cos{x}}{x^2}} &= \lim_{x \to 0}{\frac{(1-\cos{x})'}{(x^2)'}} \\ &= \lim_{x \to 0}{\frac{\sin{x}}{2x}} \\ &= \lim_{x \to 0}{\frac{\cos{x}}{2}} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned} $$

$0\cdot \infty$、 $\infty - \infty$、 $0^0$、 $1^{\infty}$、 $\infty^0$

其他未定型可以考虑转换为 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$,再考虑洛必达法则

  1. $$0 \cdot \infty = \frac{0}{\frac{1}{\infty}}$$
  2. $\infty - \infty$ 设法合二为一
  3. $0^0$、 $1^{\infty}$、 $\infty^0$ 可以运用公式 $a=e^{\ln{a}}$ 可得 $f(x)^{g(x)}=e^{\ln{f(x)^{g(x)}}}=e^{g(x)\ln{f(x)}}$,而指数部分 $g(x)\ln{f(x)}$ 为 $0\cdot \infty$ 型

收敛函数的有界性

已知 $f(x)$ 连续,若 $\lim{x\to\infty}{f(x)}$ 和 $\lim{x\to-\infty}{f(x)}$ 存在,则 $f(x)$ 一定有界,反之不一定

1.2 函数概念及基本初等函数
定积分的概念及几何意义
定积分的基本性质
定积分的基本公式(牛顿-莱布尼茨公式)
定积分的应用

原函数与不定积分
不定积分换元法

不定积分经典例题
求解过程

第一组 多项式

$$ \begin{aligned} &1.\int{\frac{\mathrm{d}x}{1+e^x}} \\ &2.\int{\frac{\mathrm{d}x}{x(x^6+4)}} \\ &3.\int{\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x(1-x)}}} \\ &4.\int{\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^2-1}}} \\ &5.\int{\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{4-x^2}}} \\ &6.\int{\sqrt{\frac{A+x}{A-x}}\mathrm{d}x} \\ &7.\int{\sqrt{\frac{x-A}{B-x}}\mathrm{d}x} \quad 其中(A\lt B) \\ &8.\int{\frac{\mathrm{d}x}{1+x^3}} \end{aligned} $$

第二组 三角函数

$$ \begin{aligned} &9.\int{\frac{\mathrm{d}x}{\sin^2{x}\cos^2{x}}} \\ &10.\int{\frac{\tan{x}}{1+\cos{x}}\mathrm{d}x} \\ &11.\int{\frac{\mathrm{d}x}{A\sin{x}+B\cos{x}}} \\ &12.\int{\frac{p\sin{x}+q\cos{x}}{A\sin{x}+B\cos{x}}\mathrm{d}x} \\ &13.\int{\frac{x+\sin{x}\cos{x}}{(\cos{x}-x\sin{x})^2}\mathrm{d}x} \\ &14.\int{\frac{\cos^2{x}}{\sin{x}+\sqrt{3}\cos{x}}\mathrm{d}x} \\ &15.\int{\frac{\mathrm{d}x}{(\sin^2{x}+2\cos^2{x})^2}} \\ &16.\int{\sin{(\ln{x})\mathrm{d}x}} \end{aligned} $$

第三组 综合

$$ \begin{aligned} &17.\int{\frac{1+\sin{x}}{1+\cos{x}}e^x\mathrm{d}x} \\ &18.\int{xe^x\sin{x}\mathrm{d}x} \end{aligned} $$

分部积分法

$$ 常用的凑微分公式 \\ \begin{array}{cccc} \hline \hline \mathrm{d}x=\frac{1}{a}\mathrm{d}(ax+b) & x\mathrm(d)x=\frac{1}{2}\mathrm{d}(x^2) & \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\mathrm{d}\ln{x} & \frac{1}{x^2}\mathrm{d}x=-\mathrm{d}(\frac{1}{x}) \\ \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=2\mathrm{d}\sqrt{x} & e^x\mathrm{d}x=\mathrm{d}e^x & \sin{x}\mathrm{d}x=-\mathrm{d}(\cos{x}) & \cos{x}\mathrm{d}x=\mathrm{d}x \\ \sec^2{x}\mathrm{d}x=\mathrm{d}\tan{x} & \csc^2{x}\mathrm{d}d=-\mathrm{d}\cot{x} & \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=\mathrm{d}\arctan{x} \\ \hline \end{array} $$

无穷限反常积分

泰勒展开:

$$ \begin{aligned} P(x)&=f(x_0)+f^{(1)}(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{(2)}(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!}+\cdots \\ &=\lim_{n\to\infty}{\sum_{i=0}^{n}{\frac{f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i}{i!}}} \end{aligned} $$

麦克劳林展开:
(令泰勒展开中的 $x_0=0$ )

$$ \begin{aligned} P(x)&=f(0)+f^{(1)}(0)x+\frac{f^{(2)}(0)x^2}{2!}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)x^n}+\cdots \\ &=\lim_{n\to\infty}{\sum_{i=0}^{n}{\frac{f^{(i)}(0)x^i}{i!}}} \end{aligned} $$

常用麦克劳林展开式

指数函数麦克劳林展开式

$$ \begin{aligned} &e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots \\ &a^x=e^{x\ln{a}}=1+x\ln{a}+\frac{(x\ln{a})^2}{2!}+\cdots+\frac{(x\ln{a})^n}{n!}+\cdots \end{aligned} $$

对数函数麦克劳林展开式

$$ \begin{aligned} &\ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}+\cdots&(-1\lt x\leq 1) \\ &\ln{(x)}=(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+frac{(x-1)^3}{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n+1}(x-1)^n}{n}+\cdots&(0\lt x\leq 2) \\ &\ln{(\frac{1+x}{1-x})}=2(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots+\frac{x^n}{n}+\cdots)&(-1\lt x\lt 1) \end{aligned} $$

常用泰勒级数展开式

$$ \begin{aligned} \ln{(1+x)}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{n+1}{x^{n+1}}} &=& x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\cdots,x\in(-\infty,+\infty) \\ \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{x^n}&=&1+x+x^2+x^3+\cdots,x\in(-1,+1) \\ \frac{1}{1+x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^nx^n}&=&1-x+x^2-x^3+\cdots,x\in(-1,+1) \\ (1+x)^\alpha&=1+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n}&=&1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots,x\in(-1,1) \end{aligned} $$

指数函数泰勒展开式

$$ \begin{aligned} &e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots&-\infty\lt x\lt\infty \\ &e^{-x^2}=1-x^2+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}-\cdots&-\infty\lt x\lt\infty \\ &a^x=e^{x\ln{a}}=1+\frac{x\ln{a}}{1!}+\frac{(x\ln{a})^2}{2!}+\frac{(x\ln{a})^3}{3!}+\cdots&-\infty\lt x\lt\infty \\ &e^{\sin{x}}=1+x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}-\frac{x^5}{15}+\cdots&-\infty\lt x\lt\infty \\ &e^{\cos{x}}=&-\infty\lt x\lt\infty \\ &e^{\tan{x}}&-\infty\lt x\lt\infty \\ &e^x\sin{x}=x+x^2+\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{30}-\frac{x^6}{90}+\cdots+\frac{(\sqrt{2})^n\sin{(\frac{n\pi}{4})}x^n}{n!}+\cdots&-\infty\lt x\lt\infty \\ &e^x\cos{x}&-\infty\lt x\lt\infty \\ \end{aligned} $$

双曲函数
三角函数

$$ \begin{aligned} \sin{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}} &=&x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots&-\infty\lt x\lt\infty \\ \cos{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}}&=&1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots&-\infty\lt x\lt\infty \\ \tan{x}&=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{(2n!)}x^{2n-1}}&=&x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+\frac{62x^9}{2835}+\cdots+\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_nx^{2n-1}}{(2n)!}+\cdots&|x|\lt\frac{\pi}{2} \\ \sec{x}&=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^nE_{2n}{x^{2n}}}{(2n)!}}&=&& \\ \csc{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2x-1}} &=&&\\ \cot{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}}&=&& \end{aligned} $$

反三角函数

$$ \begin{aligned} \arctan{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{2x+1}x^{2n+1}}&=&x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\cdots,x\in(-1,1) \\ \arcsin{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}}x^(2n+1)&=&x+\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{40}x^5+\frac{5}{112}x^7+\frac{35}{1152}x^9+\cdots,x\in(-1,1) \end{aligned} $$

对数函数

$$ {(1+x)}^{\frac{1}{x}}=e-\frac{e}{2}+\frac{11e}{24}x^2-\frac{7e}{16}x^3+o(x^3) $$

当 $\frac{1}{x}\to\infty$,即 $x\to 0$ 时,可得

$$ \lim_{x\to 0}{(1+x)}^{\frac{1}{x}}=e $$

$$\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$$

$$\lim{[f(x)\pm g(x)]}=\lim{f(x)}\pm\lim{g(x)}=A\pm B$$

$$\lim{[f(x)\times g(x)]}=\lim{f(x)}\times\lim{g(x)}=A\times B$$

保号性:
$$若 \lim_{x \to x_0 }{f(x)=A},且A>0(或A<0)$$

保序性
$$设\lim_{x \to x_0}{f(x)}=A$$

子列收敛性

$$若\lim_{x\to a}{f(x)}=A$$

数列 $f(x_n)$ 是 $f(x)$ 当 $x\to a$ 时的一个子列,
则有

$$\lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=A$$

$$ \begin{aligned} \lim_ {x\to 0}{\frac{\sin x}{x}}&=1 \\ \lim_ {n\to\infty}{n\sin{\frac{1}{n}}}&=1 \\ \lim_{n\to\infty}{\sqrt{n}nn\frac{1}{\sqrt{n}}}&=1 \end{aligned} $$

$$\lim_{x\to 0}{x\sin{\frac{1}{x}}}$$

无穷小x有界=无穷小
无穷小x常数=无穷小

证明 $\lim_{x\to 0}{\sin{\frac{1}{x}}}$ 不存在

令 $x_n=\frac{1}{n\pi}$

$\lim_{n\to 0}{xn}=0,x_n\neq 0$

$$\cancel{asdfsafasdfasdfasdfasdfasFasfasdfasdfasdfasfdf}$$

$$x_n'=\{\frac{1}{\frac{4n+1}{2}\pi}\},\lim_{n\to\infty}x_n'=0,且x_n'\neq 0$$

$$\begin{bmatrix}2 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & 4\end{bmatrix} = 2\times 3+3\times2+6\times5-3-20-18$$

$$若 AB=E, BA=E A,B 都是可逆矩阵,且互逆。$$

$$x\to\infty, \lim_{x\to\infty}{f(x)}=A$$

$$\forall\epsilon>0,\because x>0,使得x>X,恒有|f(x)-A|<\epsilon$$

$$x\to-\infty,\lim_{x\to\infty}{f(x)}=A$$

$$\forall\epsilon>0,\because x>0,使当 x< -X时,恒有 |f(x)-A|<\epsilon$$

$$证明\lim_{x\to\infty}{\frac{\sin{x}}{x}}=0,
|\frac{\sin{x}}{x}-0|=|\frac{\sin{x}}{x}<\frac{1}{|x|}<\epsilon,即|x| >\frac{1}{\epsilon}
\forall\epsilon>0,取X=\frac{1}{\epsilon},则当|x| >X时恒有|\frac{\sin{x}}{x}-1|<\epsilon
故 \lim_{x\to\infty}{\frac{\sin{x}}{x}}=0$$

$$\left{ \begin{array}{rl}
2x_1-x_2 =& 5, \
3x_1+2x_2=& 11
\end{array} \right.$$

$$D=\begin{vmatrix}2 & -1 \\ 3 & 2\end{vmatrix}=7,D_1=\begin{vmatrix}5 & -1 \\ 11 & 2\end{vmatrix}=21,D_2=\begin{vmatrix}2 & 5 \\ 3 & 11\end{vmatrix}=7,$$
由 $D=7\neq0$知方程有唯一解:
$$x_1=\frac{D_1}{D}=3,x_2=\frac{D_2}{D}=1.$$

$$A=\begin{bmatrix}
1 & 3 & -2 & 2 \
0 & 2 & -1 & 3 \
-2 & 0 & 1 & 5
\end{bmatrix}
\xlongequal{\begin{aligned}r_3-2r_1 \ r_3-3r_2\end{aligned}}
\begin{bmatrix}1 & 3 & -2 & 2 \0 & 2 & -1 & 3 \0 & 0 & 1 & 0\end {bmatrix}

$$ https://www.zhihu.com/question/302351453 对称矩阵的解法 $A$ 普通矩阵 $A^{-1}$ 逆矩阵 $B=\frac{1}{|A|}A^*$ $(A^*)^{-1}=\frac{1}{|A|}A$ $AB=BA=E$ $A\frac{1}{|A|}A^*=\frac{1}{|A|}A^*A=E$ $$

\begin{vmatrix}
\frac{a}{ac-bc} & \frac{b}{ac-bc} \
\frac {c}{ac-bc} & \frac{d}{ac-bc}
\end{vmatrix}

$$ 伴随矩阵 https://baike.baidu.com/item/%E4%BC%B4%E9%9A%8F%E7%9F%A9%E9%98%B5/10034983 https://www.zhihu.com/question/360606456 http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/xxzd02.html 分析,对。。。 要使。。。 则需。。。 故。。。 矩阵乘法与逆矩阵 [行列式的定义](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/ch0101.html) [克拉默法则](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/ch0104.html) [逆矩阵](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0606.html) [方阵的逆矩阵](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/ch0203.html) https://zhuanlan.zhihu.com/p/95725643 [行列式的性质与计算](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0602.html) [二阶和三阶行列式](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0601.html) [特征值与特征向量](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/resource/contents/ch_05/ch_05.html) [矩阵的秩](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/ch0206.html) http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0605.html [矩阵相似对角化](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/02198/resource/contents/ch_05/ch_05.html) [分块矩阵](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/ch0204.html) [n维向量及线性运算](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/ch0301.html) [向量空间](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/resource/contents/ch_03/ch_03.html) [矩阵的运算](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/ch0202.html) 如果n阶方阵$A,B$可逆 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$ $(A^{-1})^{-1}=A$ $(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}$ $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$ $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ https://zhuanlan.zhihu.com/p/340635814 https://zhuanlan.zhihu.com/p/186266784 $A^{-1}=B \Longleftrightarrow AB=E$ $(A^{-1})^{-1}=A\Longleftrightarrow A^{-1}A=E$ $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\Longleftrightarrow A^T(A^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=E=E^T$ $\frac{1}{\lambda}A^{-1}\times\lambda A=(\frac{1}{\lambda}\lambda)A^{-1}\times A = 1:E=E$ 等价关系 1. 反身性:$A\Longleftrightarrow A$ 2. 对称性:$若 A \Longleftrightarrow B,则 B\Longleftrightarrow A$ 3. 传递性:$若 A \Longleftrightarrow B,B \Longleftrightarrow C,则 A \Longleftrightarrow C$ 初等变换 $P_j+r_i$ $r_i+r_j$ 阶梯形矩阵 可以画出一条阶梯线,先的下方全是0 每个台阶只有一个 $$\begin{matrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}$$ 设存在一个初等矩阵,$P_1,P_2,\dots,P_n$ 使得$A=P_1P_2\dots P_n$ $\because$初等矩阵可逆$\therefore$$A$可逆 设 A 可逆,目标 A 的标准形为 $$F=\begin{bmatrix}E_r & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$$ 则 $F\backsim A_1$,即 $F$ 经过有限次初等变换,可变为 $A$,即存在有限次初等变换,使$P_1P_2\cdots P_nFP_{X+1}\cdots P_i=A$ $\because A_1,P_1,P_2\cdots P_i 均可逆$ $\therefore F$可逆 $\therefore r= n_1$ 即 $E=F$,$\therefore A=P_1P_2\cdots P_rEP_r+\cdots P_i$ 1. $r(AB)\leq \min\{{r(A),r(B)}\}$ 2. $r\Biggl({\begin{pmatrix}A & 0 \\ 0 & B\end{pmatrix}}\Biggl)\xlongequal{}r(A)+r(B)$ 3. $r(子矩阵)\leq r(包含子矩阵的分块矩阵)$比如$r\Bigl((AB)\Bigl)\leq r\Biggl({\begin{pmatrix}A & B \\ 0 & C\end{pmatrix}}\Biggl)$再如$r(A)\leq r\Biggl({\begin{pmatrix}A & B \\ C & D\end{pmatrix}}\Biggl)$ ## 特征值 https://zhuanlan.zhihu.com/p/142597513 ## 极大线性无关组 https://blog.csdn.net/kukumer/article/details/107126031 [有关秩的几个重要式子](https://blog.csdn.net/kukumer/article/details/107119595) https://blog.csdn.net/guoziqing506/article/details/80557920 [奇异矩阵](https://blog.csdn.net/guoziqing506/article/details/80557967) [矩阵的分解](https://blog.csdn.net/guoziqing506/article/details/80540323) sdf sdf sd sd sd a sd d f > https://blog.csdn.net/qq_38943651/category_9417843.html > https://www.zhihu.com/column/c_1086313475025907712