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$$\begin{aligned}H{n}&=\frac{n}{\sum\limits{i=1}^{n}\frac{1}{x{i}}} \\ &= \frac{n}{\frac{1}{x{1}}+ \frac{1}{x{2}}+ \cdots + \frac{1}{x{n}}}G{n} \\ &=\sqrt[n]{\prod \limits{i=1}^{n}x{i}}= \sqrt[n]{x{1}x{2}\cdots x{n}}A{n} \\ &=\frac{1}{n}\sum \limits{i=1}^{n}x{i}=\frac{x{1}+ x{2}+ \cdots + x{n}}{n}Q{n} \\ &=\sqrt{\sum \limits{i=1}^{n}x{i}^{2}}= \sqrt{\frac{x{1}^{2}+ x{2}^{2}+ \cdots + x{n}^{2}}{n}}\end{aligned}$$

$$H{n}\leq G{n}\leq A{n}\leq Q{n}$$

先提一下下文出现的各种符号

$\alpha$ 读作 alpha,$\beta$ 读作 beta,$\gamma$ 读作 gamma
$\pi$ 读作 pi,$\theta$ 读作 theta (一般是角度(没跑了))
$\rho$ 读作 rho (密度;电阻率)
$\eta$ 读作 eta(效率)
$\omega$ 读作 omega(转速)
$\Delta$ 读作 Delta (差值)
$\mu$ 读作 mu (频率,缪斯的 mu 哦)
$\lambda$ 读作 lambda (波长)
$\bar{v}$ 读作 vbar(平均数;取反)
$\varepsilon$ 读作 epsilon(介电常数)
$\phi$ 和 $\varphi$ 读作 phi (磁通量;半径)

直线运动

匀变速直线运动中,速度与时间的关系

$v=v_0+at$

匀变速直线运动中,位移与时间的关系

$x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$

匀变速直线运动中,位移与速度的关系

$v^2-v_0^2=2ax$

匀变速直线运动的两个常用推论,平均速度关系式

$$\bar{v}=v_{\frac{t}{2}}=\frac{1}{2}(v_0+v)=\frac{x}{t}$$

匀变速直线运动的两个常用推论,位移差公式

$$\Delta{x}=x_2-x_1=x_3-x_2=\cdots=xn-x{n-1}=aT^2$$

匀变速直线运动的两个常用推论,位移差公式的进一步推论

$$x_m-x_n=(m-n)aT^2$$

初速度为零的匀变速直线运动,1T 末,2T 末,3T 末,......,nT 末瞬时速度的比值

$$v_1:v_2:v_3:\cdots:v_n=1:2:3:\cdots:n$$

初速度为零的匀变速直线运动,1T 内,2T 内,3T 内,......,n 内位移的比值

$$x_1:x_2:x_3\cdots:x_n=1^2:2^2:3^2:\cdots:n^2$$

初速度为零的匀变速直线运动,第一个 T 内,第二个 T 内,第三个 T 内,......, 第 N 个 T 内位移的比值

$$x_1:x_2:x_3:\cdots:x_N=1:3:5:\cdots:(2N-1)$$

初速度为零的匀变速直线运动,通过前 x, 前 x, 前 x,......, 前 x 位移所用时间之比

$$t_1:t_2:t_3:\cdots:t_n=1:\sqrt{2}:\sqrt{3}:\cdots:\sqrt{n}$$

初速度为零的匀变速直线运动,通过连续相等的位移所用时间的比值为

$$t_1:t_2:t_3:\cdots:t_n=1:(\sqrt{2}-1):(\sqrt{3}-\sqrt{2}):\cdots:(\sqrt(N)-\sqrt{N-1})$$

纸带问题中利用逐差法求加速度

$$a=\frac{(x_4+x_5+x_6)-(x_1+x_2+x_3)}{9T^2}$$

两力 F1,F2 合力 F 的计算 (F1,F2 的夹角为 $\theta$)

$$F=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1F_2 \cos{\theta}}$$

$$\tan{\alpha}=\frac{F_2\sin{\theta}}{F_1+F_2\cos{\theta}}$$($\alpha$是合力 F 和 F1 的夹角)

圆锥摆周期公式

$T=2\pi\sqrt{\frac{l\cdot\cos{\theta}}{g}}$

单摆周期公式

$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

平抛运动

圆周运动

描述匀速圆周运动的物理量(线速度$v$,角速度$\omega$,周期$T$,频率$f$,转速$n$)之间的关系

$v=\frac{2\pi r}{T}=2\pi rf=2\pi rn$

$v=\omega T$

$\omega=\frac{2\pi}{T}$

$n=f=\frac{1}{T}$

做匀速圆周运动的物体所受向心力与描述匀速圆周运动的物理量之间的关系

$F=ma=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r=m\frac{4\pi^2}{T^2}=4\pi^2mf^2r$

万有引力

开普勒第三定律(周期定律)用公式表示

$\frac{a^3}{T^2}=k$

万有引力定律

$F=G\frac{Mm}{r^2}$

电、磁

库仑定律

$F=k\frac{Q_1Q_2}{r^2}$

电场强度的计算

$$\begin{align}E&=\frac{F}{1} (适用于任何电场)\\
&=k\frac{Q}{r^2} (适用于真空中点电荷的电场)\\
&= \frac{U}{d} (适用于匀强电场) \end{align}$$

电容的定义式

$C=\frac{Q}{U}$

平行板电容器Container的电容计算公式

$C=\frac{\varepsilon_rS}{4\pi kd}$

欧姆定律

$I=\frac{U}{R}$

电阻定律

$R=\rho\frac{l}{S}$

焦耳定律

$Q=I^2Rt$

电流微观表达式

$I=nqSv$($n$ 为导体单位体积内的自由电荷数,$v$ 为电荷定向移动的速率,$S$ 为导体的横截面积,$q$ 为每个自由电荷的电荷量)

闭合电路欧姆定律

$I=\frac{E}{R+r}$

电源的效率

$\eta$

磁感应强度定义式

$B=\frac{F}{IL}$(通电导线与 B 垂直)

安培力计算

$F=BIL$

洛伦兹力计算

$F=qvB$

磁通量计算

$\varphi=B\cdot S$(S 是与 B 垂直的面的面积)

法拉第电磁感应定律

$E=n\frac{\Delta{\varPhi}}{\Delta{t}}$

自感电动势

$E=L\frac{\Delta{I}}{\Delta{t}}$

振动

弹簧振子(水平)固有周期

$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

光学

介质的折射率定义式

$n=\frac{\sin{\theta_1}}{\sin{\theta_2}}$

介质的折射率与光传播速度的关系

$n=\frac{c}{v}$

波粒二向性

用双缝干涉测光的波长的原理

$\lambda=\frac{d\cdot\Delta{x}}{l}$

功、能

动量定理

$p`-p=I=Ft$

$mv`-mv=Ft$

光电效应方程

$E_k=h\mu-W_0$

质能方程

$E=mc^2$

氢离子能级

$$\begin{aligned}
\frac{\pi}{2}=\left(\int{0}^{\infty} \frac{\sin x}{\sqrt{x}} dx \right)^2 \\
&=\sum
{k=0}^{\infty}\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2} \frac{1}{2k+1} \\
&=\prod_{k=1}^{\infty} \frac{4k^2}{4k^2-1}
\end{aligned}$$

$\sum_{s}^{ss}$

分号
$\frac {1}{x}$
根号
$\sqrt {x}$

概率

排列组合

排列 组合
$A_n^k = \frac {n!}{(n-k)!}$ $C_n^k = \frac {n!}{(n-k)!k!}$

均值与方差

期望 方差
$E(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i p_i)$ $D(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i$
  1. 均值方差的性质
    • $E(aX+b) = aE(X) + b$
    • $D(aX+b) = a^2D(X)$
  2. 两点分布与二项分布的均值、方差
    • 若$X$服从两点分布,则$E(X) = p$,$D(X) = p(1-p)$
    • 若$X \sim B(n, p)$,则$E(X) = np$,$D(X) = np(1-p)$

不等式

(1)$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$

(2)$a^2+b^2\geq2ab$

(3)${a+b+c}{3}\geq{(abc)}^\frac{1}{3}$

(4)$a^3+b^3+c^3\geq 3abc$

(5)$\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n} \geq {(a_1a_2…a_n)}^\frac{1}{n}$

(6)$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

  1. 均值不等式:
    • 两数均值不等式:$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt {ab}$
    • n 数均值不等式:$$\frac {a_1+a_2+ \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt [n]{a_1a_2 \cdots a_n}$$
    • 调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数
    • $\frac {2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} \leq \frac {a+b}{2} \leq \sqrt {\frac{a^2 + b^2}{2}}$
  2. 柯西不等式:$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ab + cd)^2$
  3. 糖水不等式:$\frac {b}{a} < \frac {b+c}{a+c}$

不等式拓展阅读

三角函数

特殊值

正弦 余弦 正切
$\sin (0) = 0$ $\cos (0) = 1$ $\tan (0) = 0$
$\sin (\frac {\pi}{6}) = \frac {1}{2}$ $\cos (\frac {\pi}{6}) = \frac {\sqrt {3}}{2}$ $\tan (\frac {\pi}{6}) = \frac {\sqrt{3}}{3}$
$\sin (\frac {\pi}{4}) = \frac {\sqrt {2}}{2}$ $\cos (\frac {\pi}{4}) = \frac {\sqrt {2}}{2}$ $\tan (\frac {\pi}{4}) = 1$
$\sin (\frac {\pi}{3}) = \frac {\sqrt {3}}{2}$ $\cos (\frac {\pi}{3}) = \frac {1}{2}$ $\tan (\frac {\pi}{3}) = \sqrt {3}$
$\sin (\frac {\pi}{2}) = 1$ $\cos (\frac {\pi}{2}) = 0$ $\tan (\frac {\pi}{2}) = +\infty$

诱导公式

和差角公式

  • $\cos (a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
  • $\cos (a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$
  • $\sin (a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$
  • $\tan (a+b)=\frac{\tan a+ \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}$
  • $\tan (a-b)=\frac{\tan a- \tan b}{1+ \tan a \cdot \tan b}$

和差化积

  • $\sin a+ \sin b=2 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}$
  • $\sin a- \sin b = 2 \cos \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2}$
  • $\cos a+ \cos b = 2 \cos \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}$
  • $\cos a- \cos b = -2 \sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2}$
  • $\tan a \pm \tan b = \frac {\sin (a \pm b)}{\cos a \cdot \cos b}$
  • $\cot a \pm \cot b = \pm \frac {\sin (a \pm b)}{\sin a \cdot \sin b}$

积化和差

  • $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin (\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$
  • $\cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\sin (\alpha - \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$
  • $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos (\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$
  • $\sin \alpha \sin \beta = - \frac{1}{2}[\cos (\alpha - \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$

二倍角

  • $\sin (2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$
  • $\cos (2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2 \cos^2(x) - 1 = 1 - 2 \sin^2(x)$
  • $\tan (2x) = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a}$

正弦定理

$$\frac{a}{\sin(A)}=\frac{c}{sin(C)}=\frac{c}{sin(C)}=2R$$

余弦定理

$$cos(C) = \frac {a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

升幂降角

升角降幂

$$S_{\triangle ABC} = \frac {1}{2}AB \sin C$$

向量

数列

$a_n = a_1 + (n-1)d$

若$a_n$是等差数列,则有

$$S_n = \frac {(a_1 + a_n) * n}{2}$$

$a_n = a_1 q^{n-1}$

若$a_n$是等比数列,则有

$$S_n = \frac {a_1 * (1 - q^n)}{1-q}$$

$a_n = Sn - S{n-1}$

  1. 裂项相消
    1. $a_n=\frac{1}{n(n+1)}$

$$\begin{aligned}S_n&=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \\ &=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1} \\ &=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \\ &=1-\frac{1}{n+1}\end{aligned}$$

  1. 错位相减

    函数

奇函数:$f(x) = -f(x)$

偶函数:$f(x)=f(-x)$
$a^r \times a^s = a^{r+s}$
${(ab)}^r = a^rb^r$
${(a^r)}^s=a^{rs}$

二次函数

  1. $\Delta=b^2-4ac$
  2. $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2ab}$
  3. 韦达定理

$\left\{\begin{aligned}x&=1\\y&=2+x\end{aligned}\right.$

复数

$a+bi$

空间几何

$S{圆柱体}=2\pi r(r+l)$
$V
{柱体}=Sh$
$S{圆锥}$
$V
{锥}$
$S{圆台}$
$V
{台}$
$S{球}$
$V
{球}$

解析几何

直线$y = kx + b$$Ax + By + C = 0$
$y = \frac {1}{x}$
$y = ax^2$

圆锥曲线

圆$x^2 + y^2 = r^2$
椭圆$\frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} = 1$
与椭圆相交的直线,交点线段长:$|AB| = \sqrt{1+k^2}|x_1 - x_2| = \sqrt{1+\frac{1}{k^2}}|y_1 - y_2|$
抛物线$x = 2py$
抛物线焦点弦长:$|AB| = x_1 + x_2 + p = \frac{2p}{\sin^2 \theta} \geq 2p$

$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|} = \frac{2}{p}$

$x_1x_2 = \frac{p^2}{4}$ $y_1y_2 = -p^2$

$|AF| = \frac{p}{1- \cos \theta}$$|BF| = \frac{p}{1+ \cos \theta}$

$S_{\triangle ABC} = \frac{p^2}{2 \sin \theta}$

双曲线$\frac {x^2}{a^2} - \frac {y^2}{b^2} = 1$

渐近线$y = \pm \frac {b}{a} x$

斜率公式:$k_{p_1p_2} = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$

倾斜角$\alpha$:$k = \tan \alpha (\alpha \neq \frac{\pi}{2})$

点到直线距离公式:$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

中点公式:$x = \frac{x_1+x_2}{2}$$x = \frac{y_1+y_2}{2}$

重心公式:$x = \frac{x_1+x_2+x_3}{3}$$y = \frac{y_1+y_2+y_3}{3}$

线段长度:$s=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

对数

$(N>0,a>0,a\neq 1)$
$\log_a{MN}=\log_aM+\log_aN$
$\log^a{\frac{M}{N}}=\log_aM-\log_aN$
$\log_a{N^n}=n\log_aN$
$a^{\log_a{N}} = N$
$\log_a{a} = 1$
$\log_a{1} = 0$
$(a>0且a \neq 1, c>0 且 c \neq 1)$
$\log_a{b} = \frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$

导数

原函数 导函数
$kx + b$ $k$
$x^a$ $ax^{a-1}$
$\frac{1}{x}$ $- \frac{1}{x^2}$
$\ln{x}$ $\frac{1}{x}$
$a^x$ $a^x \ln{a}$
$log_a{x}$ $\frac{1}{x \ln{a}}$
$\sin x$ $\cos x$
$\cos x$ $-\sin x$
$uv$ $uv'+u'v$
$u+v$ $u'+v'$

https://zhuanlan.zhihu.com/p/41855459
https://www.mohu.org/info/symbols/symbols.htm
https://texwiki.texjp.org/?LaTeX%E5%85%A5%E9%96%80%2F%E7%B0%A1%E5%8D%98%E3%81%AA%E6%95%B0%E5%BC%8F%282%29#ma22efee