老子曰：“至治之极，邻国相望，鸡狗之声相闻，民各甘其食，美其服，安其俗，乐其业，至老死不相往来。”必用此为务，輓近世涂民耳目，则几无行矣。

　　太史公曰：夫神农以前，吾不知已。至若诗书所述虞夏以来，耳目欲极声色之好，口欲穷刍豢之味，身安逸乐，而心夸矜埶能之荣。使俗之渐民久矣，虽户说以眇论，终不能化。故善者因之，其次利道之，其次教诲之，其次整齐之，最下者与之争。

　　夫山西饶材、竹、穀、纑、旄、玉石；山东多鱼、盐、漆、丝、声色；江南出棻、梓、姜、桂、金、锡、连、丹沙、犀、玳瑁、珠玑、齿革；龙门、碣石北多马、牛、羊、旃裘、筋角；铜、铁则千里往往山出釭置：此其大较也。皆中国人民所喜好，谣俗被服饮食奉生送死之具也。故待农而食之，虞而出之，工而成之，商而通之。此宁有政教发徵期会哉？人各任其能，竭其力，以得所欲。故物贱之徵贵，贵之徵贱，各劝其业，乐其事，若水之趋下，日夜无休时，不召而自来，不求而民出之。岂非道之所符，而自然之验邪？

　　周书曰：“农不出则乏其食，工不出则乏其事，商不出则三宝绝，虞不出则财匮少。”财匮少而山泽不辟矣。此四者，民所衣食之原也。原大则饶，原小则鲜。上则富国，下则富家。贫富之道，莫之夺予，而巧者有馀，拙者不足。故太公望封於营丘，地潟卤，人民寡，於是太公劝其女功，极技巧，通鱼盐，则人物归之，繦至而辐凑。故齐冠带衣履天下，海岱之间敛袂而往朝焉。其後齐中衰，管子修之，设轻重九府，则桓公以霸，九合诸侯，一匡天下；而管氏亦有三归，位在陪臣，富於列国之君。是以齐富彊至於威、宣也。

　　故曰：“仓廪实而知礼节，衣食足而知荣辱。”礼生於有而废於无。故君子富，好行其德；小人富，以適其力。渊深而鱼生之，山深而兽往之，人富而仁义附焉。富者得埶益彰，失埶则客无所之，以而不乐。夷狄益甚。谚曰：“千金之子，不死於市。”此非空言也。故曰：“天下熙熙，皆为利来；天下攘攘，皆为利往。”夫千乘之王，万家之侯，百室之君，尚犹患贫，而况匹夫编户之民乎！

　　昔者越王勾践困於会稽之上，乃用范蠡、计然。计然曰：“知斗则修备，时用则知物，二者形则万货之情可得而观已。故岁在金，穰；水，毁；木，饥；火，旱。旱则资舟，水则资车，物之理也。六岁穰，六岁旱，十二岁一大饥。夫粜，二十病农，九十病末。末病则财不出，农病则草不辟矣。上不过八十，下不减三十，则农末俱利，平粜齐物，关市不乏，治国之道也。积著之理，务完物，无息币。以物相贸易，腐败而食之货勿留，无敢居贵。论其有馀不足，则知贵贱。贵上极则反贱，贱下极则反贵。贵出如粪土，贱取如珠玉。财币欲其行如流水。”修之十年，国富，厚赂战士，士赴矢石，如渴得饮，遂报彊吴，观兵中国，称号“五霸”。

　　范蠡既雪会稽之耻，乃喟然而叹曰：“计然之策七，越用其五而得意。既已施於国，吾欲用之家。”乃乘扁舟浮於江湖，变名易姓，適齐为鸱夷子皮，之陶为硃公。硃公以为陶天下之中，诸侯四通，货物所交易也。乃治产积居。与时逐而不责於人。故善治生者，能择人而任时。十九年之中三致千金，再分散与贫交疏昆弟。此所谓富好行其德者也。後年衰老而听子孙，子孙脩业而息之，遂至巨万。故言富者皆称陶硃公。

　　子赣既学於仲尼，退而仕於卫，废著鬻财於曹、鲁之间，七十子之徒，赐最为饶益。原宪不厌糟糠，匿於穷巷。子贡结驷连骑，束帛之币以聘享诸侯，所至，国君无不分庭与之抗礼。夫使孔子名布扬於天下者，子贡先後之也。此所谓得埶而益彰者乎？

　　白圭，周人也。当魏文侯时，李克务尽地力，而白圭乐观时变，故人弃我取，人取我与。夫岁孰取穀，予之丝漆；茧出取帛絮，予之食。太阴在卯，穰；明岁衰恶。至午，旱；明岁美。至酉，穰；明岁衰恶。至子，大旱；明岁美，有水。至卯，积著率岁倍。欲长钱，取下穀；长石斗，取上种。能薄饮食，忍嗜欲，节衣服，与用事僮仆同苦乐，趋时若猛兽挚鸟之发。故曰：“吾治生产，犹伊尹、吕尚之谋，孙吴用兵，商鞅行法是也。是故其智不足与权变，勇不足以决断，仁不能以取予，彊不能有所守，虽欲学吾术，终不告之矣。”盖天下言治生祖白圭。白圭其有所试矣，能试有所长，非苟而已也。

　　猗顿用盬盐起。而邯郸郭纵以铁冶成业，与王者埒富。

　　乌氏倮畜牧，及众，斥卖，求奇缯物，间献遗戎王。戎王什倍其偿，与之畜，畜至用谷量马牛。秦始皇帝令倮比封君，以时与列臣朝请。而巴寡妇清，其先得丹穴，而擅其利数世，家亦不訾。清，寡妇也，能守其业，用财自卫，不见侵犯。秦皇帝以为贞妇而客之，为筑女怀清台。夫倮鄙人牧长，清穷乡寡妇，礼抗万乘，名显天下，岂非以富邪？

　　汉兴，海内为一，开关梁，弛山泽之禁，是以富商大贾周流天下，交易之物莫不通，得其所欲，而徙豪杰诸侯彊族於京师。

　　关中自汧、雍以东至河、华，膏壤沃野千里，自虞夏之贡以为上田，而公刘適邠，大王、王季在岐，文王作丰，武王治镐，故其民犹有先王之遗风，好稼穑，殖五穀，地重，重为邪。及秦文、、缪居雍，隙陇蜀之货物而多贾。献公徙栎邑，栎邑北卻戎翟，东通三晋，亦多大贾。昭治咸阳，因以汉都，长安诸陵，四方辐凑并至而会，地小人众，故其民益玩巧而事末也。南则巴蜀。巴蜀亦沃野，地饶卮、姜、丹沙、石、铜、铁、竹、木之器。南御滇僰，僰僮。西近邛笮，笮马、旄牛。然四塞，栈道千里，无所不通，唯襃斜绾毂其口，以所多易所鲜。天水、陇西、北地、上郡与关中同俗，然西有羌中之利，北有戎翟之畜，畜牧为天下饶。然地亦穷险，唯京师要其道。故关中之地，於天下三分之一，而人众不过什三；然量其富，什居其六。

　　昔唐人都河东，殷人都河内，周人都河南。夫三河在天下之中，若鼎足，王者所更居也，建国各数百千岁，土地小狭，民人众，都国诸侯所聚会，故其俗纤俭习事。杨、平阳陈西贾秦、翟，北贾种、代。种、代，石北也，地边胡，数被寇。人民矜懻忮，好气，任侠为奸，不事农商。然迫近北夷，师旅亟往，中国委输时有奇羡。其民羯羠不均，自全晋之时固已患其僄悍，而武灵王益厉之，其谣俗犹有赵之风也。故杨、平阳陈掾其间，得所欲。温、轵西贾上党，北贾赵、中山。中山地薄人众，犹有沙丘纣淫地馀民，民俗懁急，仰机利而食。丈夫相聚游戏，悲歌慷慨，起则相随椎剽，休则掘冢作巧奸冶，多美物，为倡优。女子则鼓鸣瑟，跕屣，游媚贵富，入後宫，遍诸侯。

　　然邯郸亦漳、河之间一都会也。北通燕、涿，南有郑、卫。郑、卫俗与赵相类，然近梁、鲁，微重而矜节。濮上之邑徙野王，野王好气任侠，卫之风也。

　　夫燕亦勃、碣之间一都会也。南通齐、赵，东北边胡。上谷至辽东，地踔远，人民希，数被寇，大与赵、代俗相类，而民雕捍少虑，有鱼盐枣栗之饶。北邻乌桓、夫馀，东绾秽貉、朝鲜、真番之利。

　　洛阳东贾齐、鲁，南贾梁、楚。故泰山之阳则鲁，其阴则齐。

　　齐带山海，膏壤千里，宜桑麻，人民多文采布帛鱼盐。临菑亦海岱之间一都会也。其俗宽缓阔达，而足智，好议论，地重，难动摇，怯於众斗，勇於持刺，故多劫人者，大国之风也。其中具五民。

　　而邹、鲁滨洙、泗，犹有周公遗风，俗好儒，备於礼，故其民龊龊。颇有桑麻之业，无林泽之饶。地小人众，俭啬，畏罪远邪。及其衰，好贾趋利，甚於周人。

　　夫自鸿沟以东，芒、砀以北，属巨野，此梁、宋也。陶、睢阳亦一都会也。昔尧作成阳，舜渔於雷泽，汤止于亳。其俗犹有先王遗风，重厚多君子，好稼穑，虽无山川之饶，能恶衣食，致其蓄藏。

　　越、楚则有三俗。夫自淮北沛、陈、汝南、南郡，此西楚也。其俗剽轻，易发怒，地薄，寡於积聚。江陵故郢都，西通巫、巴，东有云梦之饶。陈在楚夏之交，通鱼盐之货，其民多贾。徐、僮、取虑，则清刻，矜己诺。

　　彭城以东，东海、吴、广陵，此东楚也。其俗类徐、僮。朐、缯以北，俗则齐。浙江南则越。夫吴自阖庐、春申、王濞三人招致天下之喜游子弟，东有海盐之饶，章山之铜，三江、五湖之利，亦江东一都会也。

　　衡山、九江、江南、豫章、长沙，是南楚也，其俗大类西楚。郢之後徙寿春，亦一都会也。而合肥受南北潮，皮革、鲍、木输会也。与闽中、干越杂俗，故南楚好辞，巧说少信。江南卑湿，丈夫早夭。多竹木。豫章出黄金，长沙出连、锡，然堇堇物之所有，取之不足以更费。九疑、苍梧以南至儋耳者，与江南大同俗，而杨越多焉。番禺亦其一都会也，珠玑、犀、玳瑁、果、布之凑。

　　颍川、南阳，夏人之居也。夏人政尚忠朴，犹有先王之遗风。颍川敦愿。秦末世，迁不轨之民於南阳。南阳西通武关、郧关，东南受汉、江、淮。宛亦一都会也。俗杂好事，业多贾。其任侠，交通颍川，故至今谓之“夏人”。

　　夫天下物所鲜所多，人民谣俗，山东食海盐，山西食盐卤，领南、沙北固往往出盐，大体如此矣。

　　总之，楚越之地，地广人希，饭稻羹鱼，或火耕而水耨，果隋蠃蛤，不待贾而足，地埶饶食，无饥馑之患，以故呰窳偷生，无积聚而多贫。是故江淮以南，无冻饿之人，亦无千金之家。沂、泗水以北，宜五穀桑麻六畜，地小人众，数被水旱之害，民好畜藏，故秦、夏、梁、鲁好农而重民。三河、宛、陈亦然，加以商贾。齐、赵设智巧，仰机利。燕、代田畜而事蚕。

　　由此观之，贤人深谋於廊庙，论议朝廷，守信死节隐居岩穴之士设为名高者安归乎？归於富厚也。是以廉吏久，久更富，廉贾归富。富者，人之情性，所不学而俱欲者也。故壮士在军，攻城先登，陷阵卻敌，斩将搴旗，前蒙矢石，不避汤火之难者，为重赏使也。其在闾巷少年，攻剽椎埋，劫人作奸，掘冢铸币，任侠并兼，借交报仇，篡逐幽隐，不避法禁，走死地如骛者，其实皆为财用耳。今夫赵女郑姬，设形容，揳鸣琴，揄长袂，蹑利屣，目挑心招，出不远千里，不择老少者，奔富厚也。游闲公子，饰冠剑，连车骑，亦为富贵容也。弋射渔猎，犯晨夜，冒霜雪，驰阬谷，不避猛兽之害，为得味也。博戏驰逐，斗鸡走狗，作色相矜，必争胜者，重失负也。医方诸食技术之人，焦神极能，为重糈也。吏士舞文弄法，刻章伪书，不避刀锯之诛者，没於赂遗也。农工商贾畜长，固求富益货也。此有知尽能索耳，终不馀力而让财矣。

　　谚曰：“百里不贩樵，千里不贩籴。”居之一岁，种之以穀；十岁，树之以木；百岁，来之以德。德者，人物之谓也。今有无秩禄之奉，爵邑之入，而乐与之比者。命曰“素封”。封者食租税，岁率户二百。千户之君则二十万，朝觐聘享出其中。庶民农工商贾，率亦岁万息二千，百万之家则二十万，而更徭租赋出其中。衣食之欲，恣所好美矣。故曰陆地牧马二百蹄，牛蹄角千，千足羊，泽中千足彘，水居千石鱼陂，山居千章之材。安邑千树枣；燕、秦千树栗；蜀、汉、江陵千树橘；淮北、常山已南，河济之间千树萩；陈、夏千亩漆；齐、鲁千亩桑麻；渭川千亩竹；及名国万家之城，带郭千亩亩锺之田，若千亩卮茜，千畦姜韭：此其人皆与千户侯等。然是富给之资也，不窥市井，不行异邑，坐而待收，身有处士之义而取给焉。若至家贫亲老，妻子软弱，岁时无以祭祀进醵，饮食被服不足以自通，如此不惭耻，则无所比矣。是以无财作力，少有斗智，既饶争时，此其大经也。今治生不待危身取给，则贤人勉焉。是故本富为上，末富次之，奸富最下。无岩处奇士之行，而长贫贱，好语仁义，亦足羞也。

　　凡编户之民，富相什则卑下之，伯则畏惮之，千则役，万则仆，物之理也。夫用贫求富，农不如工，工不如商，刺绣文不如倚市门，此言末业，贫者之资也。通邑大都，酤一岁千酿，醯酱千瓨，浆千甔，屠牛羊彘千皮，贩穀粜千锺，薪千车，船长千丈，木千章，竹竿万个，其轺车百乘，牛车千两，木器魨者千枚，铜器千钧，素木铁器若卮茜千石，马蹄躈千，牛千足，羊彘千双，僮手指千，筋角丹沙千斤，其帛絮细布千钧，文采千匹，榻布皮革千石，漆千斗，糵麹盐豉千荅，鮐{此鱼}千斤，鲰千石，鲍千钧，枣栗千石者三之，狐龂裘千皮，羔羊裘千石，旃席千具，佗果菜千锺，子贷金钱千贯，节駔会，贪贾三之，廉贾五之，此亦比千乘之家，其大率也。佗杂业不中什二，则非吾财也。

　　请略道当世千里之中，贤人所以富者，令後世得以观择焉。

　　蜀卓氏之先，赵人也，用铁冶富。秦破赵，迁卓氏。卓氏见虏略，独夫妻推辇，行诣迁处。诸迁虏少有馀财，争与吏，求近处，处葭萌。唯卓氏曰：“此地狭薄。吾闻汶山之下，沃野，下有蹲鸱，至死不饥。民工於市，易贾。”乃求远迁。致之临邛，大喜，即铁山鼓铸，运筹策，倾滇蜀之民，富至僮千人。田池射猎之乐，拟於人君。

　　程郑，山东迁虏也，亦冶铸，贾椎髻之民，富埒卓氏，俱居临邛。

　　宛孔氏之先，梁人也，用铁冶为业。秦伐魏，迁孔氏南阳。大鼓铸，规陂池，连车骑，游诸侯，因通商贾之利，有游闲公子之赐与名。然其赢得过当，愈於纤啬，家致富数千金，故南阳行贾尽法孔氏之雍容。

　　鲁人俗俭啬，而曹邴氏尤甚，以铁冶起，富至巨万。然家自父兄子孙约，俯有拾，仰有取，贳贷行贾遍郡国。邹、鲁以其故多去文学而趋利者，以曹邴氏也。

　　齐俗贱奴虏，而刀间独爱贵之。桀黠奴，人之所患也，唯刀间收取，使之逐渔盐商贾之利，或连车骑，交守相，然愈益任之。终得其力，起富数千万。故曰“宁爵毋刀”，言其能使豪奴自饶而尽其力。

　　周人既纤，而师史尤甚，转毂以百数，贾郡国，无所不至。洛阳街居在齐秦楚赵之中，贫人学事富家，相矜以久贾，数过邑不入门，设任此等，故师史能致七千万。

　　宣曲任氏之先，为督道仓吏。秦之败也，豪杰皆争取金玉，而任氏独窖仓粟。楚汉相距荥阳也，民不得耕种，米石至万，而豪杰金玉尽归任氏，任氏以此起富。富人争奢侈，而任氏折节为俭，力田畜。田畜人争取贱贾，任氏独取贵善。富者数世。然任公家约，非田畜所出弗衣食，公事不毕则身不得饮酒食肉。以此为闾里率，故富而主上重之。

　　塞之斥也，唯桥姚已致马千匹，牛倍之，羊万头，粟以万锺计。吴楚七国兵起时，长安中列侯封君行从军旅，赍贷子钱，子钱家以为侯邑国在关东，关东成败未决，莫肯与。唯无盐氏出捐千金贷，其息什之。三月，吴楚平，一岁之中，则无盐氏之息什倍，用此富埒关中。

　　关中富商大贾，大抵尽诸田，田啬、田兰。韦家栗氏，安陵、杜杜氏，亦巨万。

　　此其章章尤异者也。皆非有爵邑奉禄弄法犯奸而富，尽椎埋去就，与时俯仰，获其赢利，以末致财，用本守之，以武一切，用文持之，变化有概，故足术也。若至力农畜，工虞商贾，为权利以成富，大者倾郡，中者倾县，下者倾乡里者，不可胜数。

　　夫纤啬筋力，治生之正道也，而富者必用奇胜。田农，掘业，而秦扬以盖一州。掘冢，奸事也，而田叔以起。博戏，恶业也，而桓发用富。行贾，丈夫贱行也，而雍乐成以饶。贩脂，辱处也，而雍伯千金。卖浆，小业也，而张氏千万。洒削，薄技也，而郅氏鼎食。胃脯，简微耳，浊氏连骑。马医，浅方，张里击锺。此皆诚壹之所致。

　　由是观之，富无经业，则货无常主，能者辐凑，不肖者瓦解。千金之家比一都之君，巨万者乃与王者同乐。岂所谓“素封”者邪？非也？

　　货殖之利，工商是营。废居善积，倚巿邪赢。白圭富国，计然强兵。倮参朝请，女筑怀清。素封千户，卓郑齐名。

好耶！是高等数学！

$$ \lim_{x\to 1}{\frac{x^x-x}{\ln{x}-x+1}} $$

极限、级数、泰勒与麦克劳林

系统中常见 $(x\to 0)$

$$ \begin{aligned} \tan{x}-\sin{x}&=\frac{1}{2}x^3+o(x^3) \\ x-\sin{x}&=\frac{1}{6}x^3+o(x^3) \\ \arcsin{x}-x&=\frac{1}{6}x^3+o(x^3) \\ \tan{x}-x&=\frac{1}{3}x^3+o(x^3) \\ x-\arctan{x}&=\frac{1}{3}x^3+o(x^3) \end{aligned} $$

还可以得到 $(x\to 0)$

$$ \begin{aligned} x-\ln{(1+x)}&\sim\frac{x^2}{2} \\ e^x-1-x&\sim\frac{x^2}{2} \\ 1-\cos^a{x}&\sim\frac{ax^2}{2} \\ f(x)^{g(x)}-1&\sim g(x)\left[f(x)-1\right] (当f(x)\to 1且f(x)^{g(x)}\to 1) \end{aligned} $$

几个常见的泰勒公式 $(x\to 0)$

$$ \begin{aligned} \sin{x}&=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3) &\arcsin{x}&=x\frac{x^3}{6}+o(x^3) \\ \cos{x}&=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4) &\arccos{x}&=? \\ \tan{x}&=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3) &\arctan{x}&=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3) \\ e^x&=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3) &\ln{(1+x)}&=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3) \\ (1+x)^\alpha&=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2) \end{aligned} $$

有时还会用到

$$ (1+x)^{\frac{1}{x}}=e-\frac{e}{2}x+\frac{11e}{24}x^2+o(x^2) $$

另外

$$ \begin{aligned} 对于(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2) \\ 当\alpha=\frac{1}{2}，则\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+o(x^2) \\ 当\alpha=\frac{1}{3}，则\sqrt[3]{1+x}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}x^3+o(x^2) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} &(1+\frac{1}{n})^n \\ =&1+\mathrm{C}_n^1\frac{1}{n}+\mathrm{C}_n^2\frac{1}{n^2}+\cdots+\mathrm{C}_n^k\frac{1}{n^k}+\cdots+\mathrm{C}_n^n\frac{1}{n^n} \\ =&1+\frac{n!}{1!(n-1)!n}+\frac{n!}{2!(n-2)!n^2}+\cdots+\frac{n!}{k!(n-k)!n^k}+\cdots+\frac{n!}{n!(n-n)!n^n} \\ \to&1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots \end{aligned} $$

部分可以参考高中数学公式合集

常用诱导公式：

$$ \begin{aligned} \cos{x}&=\sin{(x+\frac{\pi}{2})}=\sin{(\frac{\pi}{2}-x)} \\ \sin{x}&=\cos{(x-\frac{\pi}{2})}=\cos{(\frac{\pi}{2}-x)} \\ \tan{x}&=\cot{(\frac{\pi}{2}-x)} \\ \sin{(\pi+x)}&=-\sin{x} \\ \cos{x}&=\sin{(x+\frac{\pi}{2})} \\ \end{aligned} $$

$$\sin (2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$$

$$\cos (2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2 \cos^2(x) - 1 = 1 - 2 \sin^2(x)$$

$$\tan (2x) = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$$

$\sqrt{a^2-x^2}$ 当 $x\to a\sin{\theta}$

$\sqrt{x^2+a^2}$ 当 $x\to a\tan{\theta}$

$\sqrt{x^2-a^2}$ 当 $x\to a\sec{\theta}$

$\sqrt{x}$

立方差公式

$$ \begin{aligned} (a\pm b)^3&=a^3+3ab^2\pm3a^2b-b^3 \\ &=(a\pm b)\times(a^2\mp ab+b^2) \end{aligned} $$

$$ f(x)=\lim_{n\to\inf}{\sqrt[n]{{|x-2|}^{3n}+{(x-2)}^{2n}}}=max\left\{{|x-2|}^3,{(x-2)}^2\right\} $$

有理分式

$$ {\left(\frac{1-x}{1+x^2}\right)}^2=\frac{Ax+b}{1+x^2}+\frac{Cx+D}{{\left(1+x^2\right)}^2} $$

一个超奇怪的格式混合体

$$ \begin{matrix} \hline \hline {\color{#3e3e3e}这可真是一个\boxed{新发现}} & 一 & 二 & 三 & 四 \\ \hline \hline 23012 & 1 & 2 &3 & 4 \\ \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix} & 11 & 22 & 33 & 44 \\ \hline \hline \end{matrix} $$

TODO:对数的运算法则
TODO：tan的和差化积

熟练运用公式和定义 $x+\frac{1}{x}$

$$ x+\frac{1}{x} 的性质： x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2 $$

$$ 常用题型，给定符合函数的表达式，例如 f(x+\frac{1}{x})=x^2+\frac{1}{x^2}， $$

$$ 求外层函数 f(x) 的表达式， $$

$$ 则 f(x+\frac{1}{x})=x^2+\frac{1}{x}=(x+\frac{1}{x})^2-2，即 f(x)=x^2-2 $$

极限

函数如果在一点上没有定义，也算是间断点，只要不连续就是间断点

左右极限不存在也可以被称为“极限不存在”
例如： $f(x)=g(x)=\frac{x}{|x|}$
在 $x=0$ 处，左右极限不相等，极限不存在

积分中值定理 如果函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，那么在开区间 $(a,b)$ 内总有一点 $c$，满足 $f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^b{f(x)\mathrm{d}x}$

罗尔定理 假设函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 内连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导。如果 $f(a)=f(b)$，那么在开区间 $(a,b)$ 内至少存在一点 $c$，使得 $f'(c)=0$

牛顿法 假设 $a$ 是对方程 $f(x)=0$ 的解的一个近似，如果令 $$b=a-\frac{f(a)}{f'(a)}，$$ 则在很多情况下， $b$ 是个比 $a$ 更好的近似

中值定理 假设函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 内连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，那么在开区间 $(a,b)$ 内至少有一点 $c$ 使得 $$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

2.2 数项级数的基本概念
2.4 无穷小量和无穷大量

$$\lim_{x\to\infty}{\frac{\sin{x}}{x}}$$

$$\lim_{x\to\infty}{\frac{x\arctan{x}}{x^2+1}}$$

$$\lim_{x\to\infty}{\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\cdots+\frac{m}{n^2}\right)}，其中m\in N$$

4.2 洛必达法则

如下几种未定型可以使用洛必达法则，其他未定式可以设法转换为 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 型

$0\cdot \infty$、 $\infty - \infty$、 $0^0$、 $1^{\infty}$、 $\infty^0$

但是洛必达法则并不是全能的，如果不断求导并不能使项变得更加简单或者消除，使用洛必达法则无法求出其极限

洛必达的使用条件

1. 满足 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型
2. $f(x)$，$g(x)$在 $x_0$ 去心邻域内可导，且 $g'(x)\neq 0$
3. $lim_{x\to x_0}{\frac{f'(x)}{g'(x)}} = a$（ $a$ 为有限实数或者无穷大），则

$$ \lim{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim{\frac{f'(x)}{g'(x)}} = a $$

求导时注意函数应该怎么求导更简化

$$ \lim_{x\to 0^{+}}{x\ln{x}} = \lim_{x\to 0^{+}}{\frac{\ln{x}}{1/x}} = \lim_{x\to 0^{+}}{\frac{1/x}{-1/x^0}} = 0 $$

如果反过来

$$ \lim_{x\to 0^{+}}{x\ln{x}} = \lim_{x\to 0^{+}}{\frac{x}{1/\ln{x}}} = \lim_{x\to 0^{+}}{-x(\ln{x})^2} $$

函数越来越复杂了

例 4.2.1：

求极限 $\lim_{x\to 1}{\frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1}}$

当 $x\to 1$ 时，分子 $x^2-1 \to 1$，分母 $\sqrt{x}-1 \to 0$，所以这是 $\frac{0}{0}$ 型未定式

$$ \begin{aligned} \lim_{x \to 1}{\frac{x^-1}{\sqrt{x}-1}} &= \lim_{x\to 1}{\frac{(x^-1)'}{(\sqrt{x}-1)'}} \\ &=\lim_{x \to 1}{\frac{2x}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}} = 4 \end{aligned} $$

例 4.2.2：
求极限 $\lim_{x \to 0}{\frac{1-\cos{x}}{x^2}}$

解

$$ \begin{aligned} \lim_{x \to 0}{\frac{1-\cos{x}}{x^2}} &= \lim_{x \to 0}{\frac{(1-\cos{x})'}{(x^2)'}} \\ &= \lim_{x \to 0}{\frac{\sin{x}}{2x}} \\ &= \lim_{x \to 0}{\frac{\cos{x}}{2}} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned} $$

$0\cdot \infty$、 $\infty - \infty$、 $0^0$、 $1^{\infty}$、 $\infty^0$

其他未定型可以考虑转换为 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$，再考虑洛必达法则

1. $$0 \cdot \infty = \frac{0}{\frac{1}{\infty}}$$
2. $\infty - \infty$ 设法合二为一
3. $0^0$、 $1^{\infty}$、 $\infty^0$ 可以运用公式 $a=e^{\ln{a}}$ 可得 $f(x)^{g(x)}=e^{\ln{f(x)^{g(x)}}}=e^{g(x)\ln{f(x)}}$，而指数部分 $g(x)\ln{f(x)}$ 为 $0\cdot \infty$ 型

收敛函数的有界性

已知 $f(x)$ 连续，若 $\lim{x\to\infty}{f(x)}$ 和 $\lim{x\to-\infty}{f(x)}$ 存在，则 $f(x)$ 一定有界，反之不一定

1.2 函数概念及基本初等函数
定积分的概念及几何意义
定积分的基本性质
定积分的基本公式（牛顿-莱布尼茨公式）
定积分的应用

原函数与不定积分
不定积分换元法

不定积分经典例题
求解过程

第一组 多项式

$$ \begin{aligned} &1.\int{\frac{\mathrm{d}x}{1+e^x}} \\ &2.\int{\frac{\mathrm{d}x}{x(x^6+4)}} \\ &3.\int{\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x(1-x)}}} \\ &4.\int{\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^2-1}}} \\ &5.\int{\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{4-x^2}}} \\ &6.\int{\sqrt{\frac{A+x}{A-x}}\mathrm{d}x} \\ &7.\int{\sqrt{\frac{x-A}{B-x}}\mathrm{d}x} \quad 其中(A\lt B) \\ &8.\int{\frac{\mathrm{d}x}{1+x^3}} \end{aligned} $$

第二组 三角函数

$$ \begin{aligned} &9.\int{\frac{\mathrm{d}x}{\sin^2{x}\cos^2{x}}} \\ &10.\int{\frac{\tan{x}}{1+\cos{x}}\mathrm{d}x} \\ &11.\int{\frac{\mathrm{d}x}{A\sin{x}+B\cos{x}}} \\ &12.\int{\frac{p\sin{x}+q\cos{x}}{A\sin{x}+B\cos{x}}\mathrm{d}x} \\ &13.\int{\frac{x+\sin{x}\cos{x}}{(\cos{x}-x\sin{x})^2}\mathrm{d}x} \\ &14.\int{\frac{\cos^2{x}}{\sin{x}+\sqrt{3}\cos{x}}\mathrm{d}x} \\ &15.\int{\frac{\mathrm{d}x}{(\sin^2{x}+2\cos^2{x})^2}} \\ &16.\int{\sin{(\ln{x})\mathrm{d}x}} \end{aligned} $$

第三组 综合

$$ \begin{aligned} &17.\int{\frac{1+\sin{x}}{1+\cos{x}}e^x\mathrm{d}x} \\ &18.\int{xe^x\sin{x}\mathrm{d}x} \end{aligned} $$

分部积分法

$$ 常用的凑微分公式 \\ \begin{array}{cccc} \hline \hline \mathrm{d}x=\frac{1}{a}\mathrm{d}(ax+b) & x\mathrm(d)x=\frac{1}{2}\mathrm{d}(x^2) & \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\mathrm{d}\ln{x} & \frac{1}{x^2}\mathrm{d}x=-\mathrm{d}(\frac{1}{x}) \\ \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=2\mathrm{d}\sqrt{x} & e^x\mathrm{d}x=\mathrm{d}e^x & \sin{x}\mathrm{d}x=-\mathrm{d}(\cos{x}) & \cos{x}\mathrm{d}x=\mathrm{d}x \\ \sec^2{x}\mathrm{d}x=\mathrm{d}\tan{x} & \csc^2{x}\mathrm{d}d=-\mathrm{d}\cot{x} & \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=\mathrm{d}\arctan{x} \\ \hline \end{array} $$

无穷限反常积分

泰勒展开：

$$ \begin{aligned} P(x)&=f(x_0)+f^{(1)}(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{(2)}(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!}+\cdots \\ &=\lim_{n\to\infty}{\sum_{i=0}^{n}{\frac{f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i}{i!}}} \end{aligned} $$

麦克劳林展开：
（令泰勒展开中的 $x_0=0$ ）

$$ \begin{aligned} P(x)&=f(0)+f^{(1)}(0)x+\frac{f^{(2)}(0)x^2}{2!}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)x^n}+\cdots \\ &=\lim_{n\to\infty}{\sum_{i=0}^{n}{\frac{f^{(i)}(0)x^i}{i!}}} \end{aligned} $$

常用麦克劳林展开式

指数函数麦克劳林展开式

$$ \begin{aligned} &e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots \\ &a^x=e^{x\ln{a}}=1+x\ln{a}+\frac{(x\ln{a})^2}{2!}+\cdots+\frac{(x\ln{a})^n}{n!}+\cdots \end{aligned} $$

对数函数麦克劳林展开式

$$ \begin{aligned} &\ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}+\cdots&(-1\lt x\leq 1) \\ &\ln{(x)}=(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+frac{(x-1)^3}{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n+1}(x-1)^n}{n}+\cdots&(0\lt x\leq 2) \\ &\ln{(\frac{1+x}{1-x})}=2(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots+\frac{x^n}{n}+\cdots)&(-1\lt x\lt 1) \end{aligned} $$

常用泰勒级数展开式

$$ \begin{aligned} \ln{(1+x)}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{n+1}{x^{n+1}}} &=& x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\cdots,x\in(-\infty,+\infty) \\ \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{x^n}&=&1+x+x^2+x^3+\cdots,x\in(-1,+1) \\ \frac{1}{1+x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^nx^n}&=&1-x+x^2-x^3+\cdots,x\in(-1,+1) \\ (1+x)^\alpha&=1+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n}&=&1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots,x\in(-1,1) \end{aligned} $$

指数函数泰勒展开式

$$ \begin{aligned} &e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots&-\infty\lt x\lt\infty \\ &e^{-x^2}=1-x^2+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}-\cdots&-\infty\lt x\lt\infty \\ &a^x=e^{x\ln{a}}=1+\frac{x\ln{a}}{1!}+\frac{(x\ln{a})^2}{2!}+\frac{(x\ln{a})^3}{3!}+\cdots&-\infty\lt x\lt\infty \\ &e^{\sin{x}}=1+x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}-\frac{x^5}{15}+\cdots&-\infty\lt x\lt\infty \\ &e^{\cos{x}}=&-\infty\lt x\lt\infty \\ &e^{\tan{x}}&-\infty\lt x\lt\infty \\ &e^x\sin{x}=x+x^2+\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{30}-\frac{x^6}{90}+\cdots+\frac{(\sqrt{2})^n\sin{(\frac{n\pi}{4})}x^n}{n!}+\cdots&-\infty\lt x\lt\infty \\ &e^x\cos{x}&-\infty\lt x\lt\infty \\ \end{aligned} $$

双曲函数
三角函数

$$ \begin{aligned} \sin{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}} &=&x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots&-\infty\lt x\lt\infty \\ \cos{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}}&=&1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots&-\infty\lt x\lt\infty \\ \tan{x}&=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{(2n!)}x^{2n-1}}&=&x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+\frac{62x^9}{2835}+\cdots+\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_nx^{2n-1}}{(2n)!}+\cdots&|x|\lt\frac{\pi}{2} \\ \sec{x}&=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^nE_{2n}{x^{2n}}}{(2n)!}}&=&& \\ \csc{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2x-1}} &=&&\\ \cot{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}}&=&& \end{aligned} $$

反三角函数

$$ \begin{aligned} \arctan{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{2x+1}x^{2n+1}}&=&x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\cdots,x\in(-1,1) \\ \arcsin{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}}x^(2n+1)&=&x+\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{40}x^5+\frac{5}{112}x^7+\frac{35}{1152}x^9+\cdots,x\in(-1,1) \end{aligned} $$

对数函数

例

$$ {(1+x)}^{\frac{1}{x}}=e-\frac{e}{2}+\frac{11e}{24}x^2-\frac{7e}{16}x^3+o(x^3) $$

当 $\frac{1}{x}\to\infty$，即 $x\to 0$ 时，可得

$$ \lim_{x\to 0}{(1+x)}^{\frac{1}{x}}=e $$

$$\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$$

$$\lim{[f(x)\pm g(x)]}=\lim{f(x)}\pm\lim{g(x)}=A\pm B$$

$$\lim{[f(x)\times g(x)]}=\lim{f(x)}\times\lim{g(x)}=A\times B$$

保号性：
$$若 \lim_{x \to x_0 }{f(x)=A}，且A>0（或A<0）$$

保序性
$$设\lim_{x \to x_0}{f(x)}=A$$

子列收敛性

$$若\lim_{x\to a}{f(x)}=A$$

数列 $f(x_n)$ 是 $f(x)$ 当 $x\to a$ 时的一个子列，
则有

$$\lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=A$$

$$ \begin{aligned} \lim_ {x\to 0}{\frac{\sin x}{x}}&=1 \\ \lim_ {n\to\infty}{n\sin{\frac{1}{n}}}&=1 \\ \lim_{n\to\infty}{\sqrt{n}nn\frac{1}{\sqrt{n}}}&=1 \end{aligned} $$

$$\lim_{x\to 0}{x\sin{\frac{1}{x}}}$$

无穷小x有界=无穷小
无穷小x常数=无穷小

证明 $\lim_{x\to 0}{\sin{\frac{1}{x}}}$ 不存在

令 $x_n=\frac{1}{n\pi}$

$\lim_{n\to 0}{xn}=0,x_n\neq 0$

$$\cancel{asdfsafasdfasdfasdfasdfasFasfasdfasdfasdfasfdf}$$

$$x_n'=\{\frac{1}{\frac{4n+1}{2}\pi}\},\lim_{n\to\infty}x_n'=0,且x_n'\neq 0$$

$$\begin{bmatrix}2 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & 4\end{bmatrix} = 2\times 3+3\times2+6\times5-3-20-18$$

$$若 AB=E, BA=E A，B 都是可逆矩阵，且互逆。$$

$$x\to\infty, \lim_{x\to\infty}{f(x)}=A$$

$$\forall\epsilon>0,\because x>0，使得x>X，恒有|f(x)-A|<\epsilon$$

$$x\to-\infty,\lim_{x\to\infty}{f(x)}=A$$

$$\forall\epsilon>0,\because x>0，使当 x< -X时，恒有 |f(x)-A|<\epsilon$$

$$证明\lim_{x\to\infty}{\frac{\sin{x}}{x}}=0,
|\frac{\sin{x}}{x}-0|=|\frac{\sin{x}}{x}<\frac{1}{|x|}<\epsilon，即|x| >\frac{1}{\epsilon}
\forall\epsilon>0，取X=\frac{1}{\epsilon}，则当|x| >X时恒有|\frac{\sin{x}}{x}-1|<\epsilon
故 \lim_{x\to\infty}{\frac{\sin{x}}{x}}=0$$

$$\left{ \begin{array}{rl}
2x_1-x_2 =& 5, \
3x_1+2x_2=& 11
\end{array} \right.$$

$$D=\begin{vmatrix}2 & -1 \\ 3 & 2\end{vmatrix}=7,D_1=\begin{vmatrix}5 & -1 \\ 11 & 2\end{vmatrix}=21,D_2=\begin{vmatrix}2 & 5 \\ 3 & 11\end{vmatrix}=7,$$
由 $D=7\neq0$知方程有唯一解：
$$x_1=\frac{D_1}{D}=3,x_2=\frac{D_2}{D}=1.$$

$$A=\begin{bmatrix}
1 & 3 & -2 & 2 \
0 & 2 & -1 & 3 \
-2 & 0 & 1 & 5
\end{bmatrix}
\xlongequal{\begin{aligned}r_3-2r_1 \ r_3-3r_2\end{aligned}}
\begin{bmatrix}1 & 3 & -2 & 2 \0 & 2 & -1 & 3 \0 & 0 & 1 & 0\end {bmatrix}

$$ https://www.zhihu.com/question/302351453 对称矩阵的解法 $A$ 普通矩阵 $A^{-1}$ 逆矩阵 $B=\frac{1}{|A|}A^*$ $(A^*)^{-1}=\frac{1}{|A|}A$ $AB=BA=E$ $A\frac{1}{|A|}A^*=\frac{1}{|A|}A^*A=E$ $$

\begin{vmatrix}
\frac{a}{ac-bc} & \frac{b}{ac-bc} \
\frac {c}{ac-bc} & \frac{d}{ac-bc}
\end{vmatrix}

$$ 伴随矩阵 https://baike.baidu.com/item/%E4%BC%B4%E9%9A%8F%E7%9F%A9%E9%98%B5/10034983 https://www.zhihu.com/question/360606456 http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/xxzd02.html 分析，对。。。 要使。。。 则需。。。 故。。。 矩阵乘法与逆矩阵 [行列式的定义](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/ch0101.html) [克拉默法则](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/ch0104.html) [逆矩阵](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0606.html) [方阵的逆矩阵](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/ch0203.html) https://zhuanlan.zhihu.com/p/95725643 [行列式的性质与计算](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0602.html) [二阶和三阶行列式](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0601.html) [特征值与特征向量](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/resource/contents/ch_05/ch_05.html) [矩阵的秩](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/ch0206.html) http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0605.html [矩阵相似对角化](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/02198/resource/contents/ch_05/ch_05.html) [分块矩阵](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/ch0204.html) [n维向量及线性运算](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/ch0301.html) [向量空间](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/resource/contents/ch_03/ch_03.html) [矩阵的运算](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/ch0202.html) 如果n阶方阵$A，B$可逆 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$ $(A^{-1})^{-1}=A$ $(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}$ $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$ $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ https://zhuanlan.zhihu.com/p/340635814 https://zhuanlan.zhihu.com/p/186266784 $A^{-1}=B \Longleftrightarrow AB=E$ $(A^{-1})^{-1}=A\Longleftrightarrow A^{-1}A=E$ $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\Longleftrightarrow A^T(A^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=E=E^T$ $\frac{1}{\lambda}A^{-1}\times\lambda A=(\frac{1}{\lambda}\lambda)A^{-1}\times A = 1:E=E$ 等价关系 1. 反身性：$A\Longleftrightarrow A$ 2. 对称性：$若 A \Longleftrightarrow B，则 B\Longleftrightarrow A$ 3. 传递性：$若 A \Longleftrightarrow B，B \Longleftrightarrow C，则 A \Longleftrightarrow C$ 初等变换 $P_j+r_i$ $r_i+r_j$ 阶梯形矩阵 可以画出一条阶梯线，先的下方全是0 每个台阶只有一个 $$\begin{matrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}$$ 设存在一个初等矩阵，$P_1,P_2,\dots,P_n$ 使得$A=P_1P_2\dots P_n$ $\because$初等矩阵可逆$\therefore$$A$可逆 设 A 可逆，目标 A 的标准形为 $$F=\begin{bmatrix}E_r & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$$ 则 $F\backsim A_1$，即 $F$ 经过有限次初等变换，可变为 $A$，即存在有限次初等变换，使$P_1P_2\cdots P_nFP_{X+1}\cdots P_i=A$ $\because A_1,P_1,P_2\cdots P_i 均可逆$ $\therefore F$可逆 $\therefore r= n_1$ 即 $E=F$，$\therefore A=P_1P_2\cdots P_rEP_r+\cdots P_i$ 1. $r(AB)\leq \min\{{r(A),r(B)}\}$ 2. $r\Biggl({\begin{pmatrix}A & 0 \\ 0 & B\end{pmatrix}}\Biggl)\xlongequal{}r(A)+r(B)$ 3. $r(子矩阵)\leq r(包含子矩阵的分块矩阵)$比如$r\Bigl((AB)\Bigl)\leq r\Biggl({\begin{pmatrix}A & B \\ 0 & C\end{pmatrix}}\Biggl)$再如$r(A)\leq r\Biggl({\begin{pmatrix}A & B \\ C & D\end{pmatrix}}\Biggl)$ ## 特征值 https://zhuanlan.zhihu.com/p/142597513 ## 极大线性无关组 https://blog.csdn.net/kukumer/article/details/107126031 [有关秩的几个重要式子](https://blog.csdn.net/kukumer/article/details/107119595) https://blog.csdn.net/guoziqing506/article/details/80557920 [奇异矩阵](https://blog.csdn.net/guoziqing506/article/details/80557967) [矩阵的分解](https://blog.csdn.net/guoziqing506/article/details/80540323) sdf sdf sd sd sd a sd d f > https://blog.csdn.net/qq_38943651/category_9417843.html > https://www.zhihu.com/column/c_1086313475025907712

微积分初步

函数、导数与微分

我们首先学习导数和微积分等概念和有关的基本运算方法

变量、常量和函数

会变化的量叫变量，不会变化的量叫做常量

pi<const> = 3.14159265357
x = 3

自变量和因变量
现有两个互相联系的两个变量$x$和$y$，如果当$x$在其变域$\mathscr{D}$内任意取一数值时，都有确定的值与之对应，则称$y$时$x$的函数，$x$叫做自变量，函数$y$又称作因变量，写作：
$$y=f(x)$$

变域$\mathscr{D}$为自变量的变化范围，称作函数$f(x)$的定义域，而所有的数值则构成$y$的值域$\mathscr{R}$例如，

若$y$为$z$的函数，$y=f(x)$；而$z$又是变量$x$的函数，即$z=g(x)$，则称$y$为$x$的复合函数，记作
$$y=\phi(x)=f[g(x)]$$

导数

daoshu = function (fx, x, dx)
    assert (fx == "function", "第一个参数必须是一个函数")
    assert (x, "请输入你想要计算的那个点")
    if not dx then dx = 1E-12 end
    return (fx(x+dx)-fx(x))/dx
end

如此这般操作，我们就实现了一个拥有强鲁棒性的导数计算工具，但是由于计算机底层运算本身所具有的不精确性，而且我们也没有使用较为复杂的方法进行计算，可能会导致结果有所偏差，但是误差应该会在1%以下

函数的极值点和极值

微分

不定积分

原函数

不定积分

不定积分的运算法则

定积分

定积分的概念

定积分的主要性质

牛顿-莱布尼茨公式

C/C++ 入门前提须知不完全指北

本文档用于指导学校不大可能会教，但是又必知的要点（知道有，能简单用就好了，深入的学习还请在深入了解了 c/c++ 之后再做详细的研究学习
也有可能是在后面会教，或是在学习的过程中就学会了……

C 版本与 C++ 版本

K&B C
ANSI C
ISO C
c89
c99
c11
c17

C++98
C++03
C++11
C++14
C++17
C++20
C++23

gcc
mingw
mingw-w64
tdm-gcc

clang-llvm
msvc

末流
borderland++
intel++

大部分的学校所使用的 IDE 无非逃不开 devcpp 5.11 code::blocks VC2010 VC6，这么几种选择。
VC6 属于历史惯性，虽然已经是 上个世纪 98 年的产物，但是完全够教材用，存在的很多局限性，大多数大学生可能也没有太多的感觉。
VC2010 实际上指的是 VC++ 2010 Express 的这种奇奇怪怪的版本，免费，而且轻量，支持的标准也比 VC6 更新，但是也不支持 c++11，但是这个环境已经是目前国家计算机二级等级考试的标准环境，所以，使用 VC6 是真的**。
devcpp 用更老版本的虽然少见，但是确实还是存在的，主流还是 devcpp 5.11 比如我现在就读的这个学校。实际上 devcpp 在相当一定的程度上还可以勉强跟上时代的潮流。
当然，通过更换编译器也可以达到这个效果，不过，和老师的环境不太一样，就没有什么需要考虑的了。devcpp 5.11 支持 c++11，不过需要自己手动开启设置 启用 c++11 或者启动编译器选项 -std=c++11

这里理应需要一张图通过直接勾选启用c++11，但是还没有配置对应环境
![]()
这里应该有一张如何通过编译器选项设置c++11的图片，也没有环境
![]()

code::blocks 可以自动根据系统中的编译器自动配置环境，但是由于官网有一个默认的带有 MinGW 的版本，所以以下的所有内容，也以此为“标准”

实际上 devcpp 和 code::blocks 所使用的编译器都是基于同一个编译器所产生的不同分支，也就是说，同一个妈生的，从使用上，除了 IDE 本身的差别，不会有太多的问题

报错

第一步，当然也是最重要的一步，前面那个只是前言，不看也罢，教不了什么东西

如何看自己的报错

如果你在使用 VS 之流的 IDE，你可以看到它的C++ 报错是有中文的，这个时候可以很方便地看到自己的错误，具体内容是什么意思，但是熟练了，其实看什么都差不多。

一个报错通常会标识一个错误的位置，引发了什么样的错误

部分 ide 提供了双击跳转到错误代码的功能，这个很实用

通常报错总是会由前面的某一个错误，引发一个连锁反应
（关于 C++ 使用到了模板的话，一个报错可能就是几百上千行，此时中间一堆都不用管，直接看到最前面的错误原因就行了）

当程序中存在游离的字符，中文或者是空白字符，通常来说总是后面的问题，因为看到了中文的字符谁不知道它有问题呢，总是一些看不到的符号引发着奇奇怪怪的错误。

又比如函数参数啊，返回值啊等等等等

undefined reference: 未定义的引用，通常是因为include了某个头文件，但是却没有添加对应的源文件或者是库文件，导致函数定义不存在。

不对应的括号，花括号

错误的名称

逗号，分号，中文标点符号

警告

没事，既然只是警告，没有遇到奇葩的问题，就不用管了，
通常是一些什么变量没有使用啊，存在隐式转换什么的，特别奇怪

理解编译的过程

#include <stdio.h>

int main (int argc, char **argv) {

    printf ("Hello World!");
    return 0;
}

这是一个基本的 c 程序，包含了一个宏用于引用别的头文件

main 作为一个入口函数，在程序启动的时候调用

int 是这个函数的返回值，c 标准中没有要求 main 必须返回，或者返回什么

int argc, char**argv 是这个程序启动时输入的参数，你可能操作过类似于，在命令行使用的工具，比如 git 工具，使用 git clone xxx 可以从远端克隆一个项目，每一个参数如何分割是由终端决定的（毕竟万一不支持字符串什么的，也可能是一些问题呢）

printf ("Hello World!"); 是一个调用了标准格式化输出函数，输出字符串的语句，会在你的终端上显示出 Hello World! 这些字符。所谓终端就是你所看到的黑色的窗口，

print 打印
f format 格式化
printf 格式化输出，标准库提供的，所以又叫标准格式化输出函数

scanf sscanf sprintf... 同理

return 0; 返回值，一般 0 为正常结束，非 0 则表示程序出现了异常，在 Windows Command 下，你可以通过打印 %ERRORLEVEL% 的值显示程序返回值（这个内容不是很属于今天要教的内容

$ gcc -o mytest.exe mytest.c -Wall

我们使用如上的命令进行对代码的编译，产生如下的编译结果

$ ./mytest
Hello World!

但实际使用中，使用的更多的还是 make 来进行对项目的构建，make 配置文件通常会由 IDE 进行创建，例如上面提到的，但是 vs 的 make 文件就，比较有特色

预编译、预处理

这个部分将宏进行展开，删除注释

语法检查

检查括号啊，参数类型啊等等等等

语义检查

分析、替换、编译、优化

这部分应该去看一些关于编译原理的书，例如《编译原理》

链接

头文件，库文件，静态链接库动态链接库

标准库为什么没有要我们链接库

因为这个库在系统的内部被提供了
大多数操作系统都会内置一个 c/c++ 的动态链接库给程序链接，实现标准的功能

不同系统的 C++ 标准库在哪

libstdc++.so
什么的

配置链接

-l
-L

编译器选项

-o
-g
-s
-O2
-O3
-O4

构建一个项目

C/C++ 作为一个复杂的工程语言，当然，不是说语法上的复杂，说的是项目之间协作，调库，编译，跨平台编译，使之能够运行是非常复杂的。大家通常使用 makefile 来解决复杂的命令，但是和 .bat .sh 文件来说可能，更加方便令人懂。但是，不同的编译器可能拥有不同的 makefile 语法，然后，很多跨平台跨编译器的项目就需要为这些事情做一些特化，比如附带了一堆的 makefile ，这个通常为实际上的开发产生了相当多的麻烦，因为你需要熟练掌握相当多的 makefile 的语法。然后，cmake 横空出世，通过统一的语法配置了项目，但是 cmake 本身不是直接被编译器所使用的，而是生成了对应编译器的 makefile，然后调用对应编译器对源文件进行编译。但是我觉得 cmake 的语法还是挺操蛋的，非常的不好。有人说 ninja？但是我也觉得只是一般般，然后我现在用的是 xmake，简单的配置就可以为一个项目创建基本的构建工程

参考

C 语言为什么只需要 include<stdio.h> 就能使用里面声明的函数?