好耶！是高等数学！

$$ \lim_{x\to 1}{\frac{x^x-x}{\ln{x}-x+1}} $$

极限、级数、泰勒与麦克劳林

系统中常见 $(x\to 0)$

$$ \begin{aligned} \tan{x}-\sin{x}&=\frac{1}{2}x^3+o(x^3) \\ x-\sin{x}&=\frac{1}{6}x^3+o(x^3) \\ \arcsin{x}-x&=\frac{1}{6}x^3+o(x^3) \\ \tan{x}-x&=\frac{1}{3}x^3+o(x^3) \\ x-\arctan{x}&=\frac{1}{3}x^3+o(x^3) \end{aligned} $$

还可以得到 $(x\to 0)$

$$ \begin{aligned} x-\ln{(1+x)}&\sim\frac{x^2}{2} \\ e^x-1-x&\sim\frac{x^2}{2} \\ 1-\cos^a{x}&\sim\frac{ax^2}{2} \\ f(x)^{g(x)}-1&\sim g(x)\left[f(x)-1\right] (当f(x)\to 1且f(x)^{g(x)}\to 1) \end{aligned} $$

几个常见的泰勒公式 $(x\to 0)$

$$ \begin{aligned} \sin{x}&=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3) &\arcsin{x}&=x\frac{x^3}{6}+o(x^3) \\ \cos{x}&=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4) &\arccos{x}&=? \\ \tan{x}&=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3) &\arctan{x}&=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3) \\ e^x&=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3) &\ln{(1+x)}&=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3) \\ (1+x)^\alpha&=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2) \end{aligned} $$

有时还会用到

$$ (1+x)^{\frac{1}{x}}=e-\frac{e}{2}x+\frac{11e}{24}x^2+o(x^2) $$

另外

$$ \begin{aligned} 对于(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2) \\ 当\alpha=\frac{1}{2}，则\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+o(x^2) \\ 当\alpha=\frac{1}{3}，则\sqrt[3]{1+x}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}x^3+o(x^2) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} &(1+\frac{1}{n})^n \\ =&1+\mathrm{C}_n^1\frac{1}{n}+\mathrm{C}_n^2\frac{1}{n^2}+\cdots+\mathrm{C}_n^k\frac{1}{n^k}+\cdots+\mathrm{C}_n^n\frac{1}{n^n} \\ =&1+\frac{n!}{1!(n-1)!n}+\frac{n!}{2!(n-2)!n^2}+\cdots+\frac{n!}{k!(n-k)!n^k}+\cdots+\frac{n!}{n!(n-n)!n^n} \\ \to&1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots \end{aligned} $$

部分可以参考高中数学公式合集

常用诱导公式：

$$ \begin{aligned} \cos{x}&=\sin{(x+\frac{\pi}{2})}=\sin{(\frac{\pi}{2}-x)} \\ \sin{x}&=\cos{(x-\frac{\pi}{2})}=\cos{(\frac{\pi}{2}-x)} \\ \tan{x}&=\cot{(\frac{\pi}{2}-x)} \\ \sin{(\pi+x)}&=-\sin{x} \\ \cos{x}&=\sin{(x+\frac{\pi}{2})} \\ \end{aligned} $$

$$\sin (2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$$

$$\cos (2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2 \cos^2(x) - 1 = 1 - 2 \sin^2(x)$$

$$\tan (2x) = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$$

$\sqrt{a^2-x^2}$ 当 $x\to a\sin{\theta}$

$\sqrt{x^2+a^2}$ 当 $x\to a\tan{\theta}$

$\sqrt{x^2-a^2}$ 当 $x\to a\sec{\theta}$

$\sqrt{x}$

立方差公式

$$ \begin{aligned} (a\pm b)^3&=a^3+3ab^2\pm3a^2b-b^3 \\ &=(a\pm b)\times(a^2\mp ab+b^2) \end{aligned} $$

$$ f(x)=\lim_{n\to\inf}{\sqrt[n]{{|x-2|}^{3n}+{(x-2)}^{2n}}}=max\left\{{|x-2|}^3,{(x-2)}^2\right\} $$

有理分式

$$ {\left(\frac{1-x}{1+x^2}\right)}^2=\frac{Ax+b}{1+x^2}+\frac{Cx+D}{{\left(1+x^2\right)}^2} $$

一个超奇怪的格式混合体

$$ \begin{matrix} \hline \hline {\color{#3e3e3e}这可真是一个\boxed{新发现}} & 一 & 二 & 三 & 四 \\ \hline \hline 23012 & 1 & 2 &3 & 4 \\ \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix} & 11 & 22 & 33 & 44 \\ \hline \hline \end{matrix} $$

TODO:对数的运算法则
TODO：tan的和差化积

熟练运用公式和定义 $x+\frac{1}{x}$

$$ x+\frac{1}{x} 的性质： x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2 $$

$$ 常用题型，给定符合函数的表达式，例如 f(x+\frac{1}{x})=x^2+\frac{1}{x^2}， $$

$$ 求外层函数 f(x) 的表达式， $$

$$ 则 f(x+\frac{1}{x})=x^2+\frac{1}{x}=(x+\frac{1}{x})^2-2，即 f(x)=x^2-2 $$

极限

函数如果在一点上没有定义，也算是间断点，只要不连续就是间断点

左右极限不存在也可以被称为“极限不存在”
例如： $f(x)=g(x)=\frac{x}{|x|}$
在 $x=0$ 处，左右极限不相等，极限不存在

积分中值定理 如果函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，那么在开区间 $(a,b)$ 内总有一点 $c$，满足 $f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^b{f(x)\mathrm{d}x}$

罗尔定理 假设函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 内连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导。如果 $f(a)=f(b)$，那么在开区间 $(a,b)$ 内至少存在一点 $c$，使得 $f'(c)=0$

牛顿法 假设 $a$ 是对方程 $f(x)=0$ 的解的一个近似，如果令 $$b=a-\frac{f(a)}{f'(a)}，$$ 则在很多情况下， $b$ 是个比 $a$ 更好的近似

中值定理 假设函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 内连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，那么在开区间 $(a,b)$ 内至少有一点 $c$ 使得 $$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

2.2 数项级数的基本概念
2.4 无穷小量和无穷大量

$$\lim_{x\to\infty}{\frac{\sin{x}}{x}}$$

$$\lim_{x\to\infty}{\frac{x\arctan{x}}{x^2+1}}$$

$$\lim_{x\to\infty}{\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\cdots+\frac{m}{n^2}\right)}，其中m\in N$$

4.2 洛必达法则

如下几种未定型可以使用洛必达法则，其他未定式可以设法转换为 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 型

$0\cdot \infty$、 $\infty - \infty$、 $0^0$、 $1^{\infty}$、 $\infty^0$

但是洛必达法则并不是全能的，如果不断求导并不能使项变得更加简单或者消除，使用洛必达法则无法求出其极限

洛必达的使用条件

1. 满足 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型
2. $f(x)$，$g(x)$在 $x_0$ 去心邻域内可导，且 $g'(x)\neq 0$
3. $lim_{x\to x_0}{\frac{f'(x)}{g'(x)}} = a$（ $a$ 为有限实数或者无穷大），则

$$ \lim{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim{\frac{f'(x)}{g'(x)}} = a $$

求导时注意函数应该怎么求导更简化

$$ \lim_{x\to 0^{+}}{x\ln{x}} = \lim_{x\to 0^{+}}{\frac{\ln{x}}{1/x}} = \lim_{x\to 0^{+}}{\frac{1/x}{-1/x^0}} = 0 $$

如果反过来

$$ \lim_{x\to 0^{+}}{x\ln{x}} = \lim_{x\to 0^{+}}{\frac{x}{1/\ln{x}}} = \lim_{x\to 0^{+}}{-x(\ln{x})^2} $$

函数越来越复杂了

例 4.2.1：

求极限 $\lim_{x\to 1}{\frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1}}$

当 $x\to 1$ 时，分子 $x^2-1 \to 1$，分母 $\sqrt{x}-1 \to 0$，所以这是 $\frac{0}{0}$ 型未定式

$$ \begin{aligned} \lim_{x \to 1}{\frac{x^-1}{\sqrt{x}-1}} &= \lim_{x\to 1}{\frac{(x^-1)'}{(\sqrt{x}-1)'}} \\ &=\lim_{x \to 1}{\frac{2x}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}} = 4 \end{aligned} $$

例 4.2.2：
求极限 $\lim_{x \to 0}{\frac{1-\cos{x}}{x^2}}$

解

$$ \begin{aligned} \lim_{x \to 0}{\frac{1-\cos{x}}{x^2}} &= \lim_{x \to 0}{\frac{(1-\cos{x})'}{(x^2)'}} \\ &= \lim_{x \to 0}{\frac{\sin{x}}{2x}} \\ &= \lim_{x \to 0}{\frac{\cos{x}}{2}} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned} $$

$0\cdot \infty$、 $\infty - \infty$、 $0^0$、 $1^{\infty}$、 $\infty^0$

其他未定型可以考虑转换为 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$，再考虑洛必达法则

1. $$0 \cdot \infty = \frac{0}{\frac{1}{\infty}}$$
2. $\infty - \infty$ 设法合二为一
3. $0^0$、 $1^{\infty}$、 $\infty^0$ 可以运用公式 $a=e^{\ln{a}}$ 可得 $f(x)^{g(x)}=e^{\ln{f(x)^{g(x)}}}=e^{g(x)\ln{f(x)}}$，而指数部分 $g(x)\ln{f(x)}$ 为 $0\cdot \infty$ 型

收敛函数的有界性

已知 $f(x)$ 连续，若 $\lim{x\to\infty}{f(x)}$ 和 $\lim{x\to-\infty}{f(x)}$ 存在，则 $f(x)$ 一定有界，反之不一定

1.2 函数概念及基本初等函数
定积分的概念及几何意义
定积分的基本性质
定积分的基本公式（牛顿-莱布尼茨公式）
定积分的应用

原函数与不定积分
不定积分换元法

不定积分经典例题
求解过程

第一组 多项式

$$ \begin{aligned} &1.\int{\frac{\mathrm{d}x}{1+e^x}} \\ &2.\int{\frac{\mathrm{d}x}{x(x^6+4)}} \\ &3.\int{\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x(1-x)}}} \\ &4.\int{\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^2-1}}} \\ &5.\int{\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{4-x^2}}} \\ &6.\int{\sqrt{\frac{A+x}{A-x}}\mathrm{d}x} \\ &7.\int{\sqrt{\frac{x-A}{B-x}}\mathrm{d}x} \quad 其中(A\lt B) \\ &8.\int{\frac{\mathrm{d}x}{1+x^3}} \end{aligned} $$

第二组 三角函数

$$ \begin{aligned} &9.\int{\frac{\mathrm{d}x}{\sin^2{x}\cos^2{x}}} \\ &10.\int{\frac{\tan{x}}{1+\cos{x}}\mathrm{d}x} \\ &11.\int{\frac{\mathrm{d}x}{A\sin{x}+B\cos{x}}} \\ &12.\int{\frac{p\sin{x}+q\cos{x}}{A\sin{x}+B\cos{x}}\mathrm{d}x} \\ &13.\int{\frac{x+\sin{x}\cos{x}}{(\cos{x}-x\sin{x})^2}\mathrm{d}x} \\ &14.\int{\frac{\cos^2{x}}{\sin{x}+\sqrt{3}\cos{x}}\mathrm{d}x} \\ &15.\int{\frac{\mathrm{d}x}{(\sin^2{x}+2\cos^2{x})^2}} \\ &16.\int{\sin{(\ln{x})\mathrm{d}x}} \end{aligned} $$

第三组 综合

$$ \begin{aligned} &17.\int{\frac{1+\sin{x}}{1+\cos{x}}e^x\mathrm{d}x} \\ &18.\int{xe^x\sin{x}\mathrm{d}x} \end{aligned} $$

分部积分法

$$ 常用的凑微分公式 \\ \begin{array}{cccc} \hline \hline \mathrm{d}x=\frac{1}{a}\mathrm{d}(ax+b) & x\mathrm(d)x=\frac{1}{2}\mathrm{d}(x^2) & \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\mathrm{d}\ln{x} & \frac{1}{x^2}\mathrm{d}x=-\mathrm{d}(\frac{1}{x}) \\ \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=2\mathrm{d}\sqrt{x} & e^x\mathrm{d}x=\mathrm{d}e^x & \sin{x}\mathrm{d}x=-\mathrm{d}(\cos{x}) & \cos{x}\mathrm{d}x=\mathrm{d}x \\ \sec^2{x}\mathrm{d}x=\mathrm{d}\tan{x} & \csc^2{x}\mathrm{d}d=-\mathrm{d}\cot{x} & \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=\mathrm{d}\arctan{x} \\ \hline \end{array} $$

无穷限反常积分

泰勒展开：

$$ \begin{aligned} P(x)&=f(x_0)+f^{(1)}(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{(2)}(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!}+\cdots \\ &=\lim_{n\to\infty}{\sum_{i=0}^{n}{\frac{f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i}{i!}}} \end{aligned} $$

麦克劳林展开：
（令泰勒展开中的 $x_0=0$ ）

$$ \begin{aligned} P(x)&=f(0)+f^{(1)}(0)x+\frac{f^{(2)}(0)x^2}{2!}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)x^n}+\cdots \\ &=\lim_{n\to\infty}{\sum_{i=0}^{n}{\frac{f^{(i)}(0)x^i}{i!}}} \end{aligned} $$

常用麦克劳林展开式

指数函数麦克劳林展开式

$$ \begin{aligned} &e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots \\ &a^x=e^{x\ln{a}}=1+x\ln{a}+\frac{(x\ln{a})^2}{2!}+\cdots+\frac{(x\ln{a})^n}{n!}+\cdots \end{aligned} $$

对数函数麦克劳林展开式

$$ \begin{aligned} &\ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}+\cdots&(-1\lt x\leq 1) \\ &\ln{(x)}=(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+frac{(x-1)^3}{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n+1}(x-1)^n}{n}+\cdots&(0\lt x\leq 2) \\ &\ln{(\frac{1+x}{1-x})}=2(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots+\frac{x^n}{n}+\cdots)&(-1\lt x\lt 1) \end{aligned} $$

常用泰勒级数展开式

$$ \begin{aligned} \ln{(1+x)}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{n+1}{x^{n+1}}} &=& x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\cdots,x\in(-\infty,+\infty) \\ \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{x^n}&=&1+x+x^2+x^3+\cdots,x\in(-1,+1) \\ \frac{1}{1+x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^nx^n}&=&1-x+x^2-x^3+\cdots,x\in(-1,+1) \\ (1+x)^\alpha&=1+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n}&=&1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots,x\in(-1,1) \end{aligned} $$

指数函数泰勒展开式

$$ \begin{aligned} &e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots&-\infty\lt x\lt\infty \\ &e^{-x^2}=1-x^2+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}-\cdots&-\infty\lt x\lt\infty \\ &a^x=e^{x\ln{a}}=1+\frac{x\ln{a}}{1!}+\frac{(x\ln{a})^2}{2!}+\frac{(x\ln{a})^3}{3!}+\cdots&-\infty\lt x\lt\infty \\ &e^{\sin{x}}=1+x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}-\frac{x^5}{15}+\cdots&-\infty\lt x\lt\infty \\ &e^{\cos{x}}=&-\infty\lt x\lt\infty \\ &e^{\tan{x}}&-\infty\lt x\lt\infty \\ &e^x\sin{x}=x+x^2+\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{30}-\frac{x^6}{90}+\cdots+\frac{(\sqrt{2})^n\sin{(\frac{n\pi}{4})}x^n}{n!}+\cdots&-\infty\lt x\lt\infty \\ &e^x\cos{x}&-\infty\lt x\lt\infty \\ \end{aligned} $$

双曲函数
三角函数

$$ \begin{aligned} \sin{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}} &=&x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots&-\infty\lt x\lt\infty \\ \cos{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}}&=&1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots&-\infty\lt x\lt\infty \\ \tan{x}&=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{(2n!)}x^{2n-1}}&=&x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+\frac{62x^9}{2835}+\cdots+\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_nx^{2n-1}}{(2n)!}+\cdots&|x|\lt\frac{\pi}{2} \\ \sec{x}&=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^nE_{2n}{x^{2n}}}{(2n)!}}&=&& \\ \csc{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2x-1}} &=&&\\ \cot{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}}&=&& \end{aligned} $$

反三角函数

$$ \begin{aligned} \arctan{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{2x+1}x^{2n+1}}&=&x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\cdots,x\in(-1,1) \\ \arcsin{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}}x^(2n+1)&=&x+\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{40}x^5+\frac{5}{112}x^7+\frac{35}{1152}x^9+\cdots,x\in(-1,1) \end{aligned} $$

对数函数

例

$$ {(1+x)}^{\frac{1}{x}}=e-\frac{e}{2}+\frac{11e}{24}x^2-\frac{7e}{16}x^3+o(x^3) $$

当 $\frac{1}{x}\to\infty$，即 $x\to 0$ 时，可得

$$ \lim_{x\to 0}{(1+x)}^{\frac{1}{x}}=e $$