简单的线性代数入门
$$\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$$
$$\lim{[f(x)\pm g(x)]}=\lim{f(x)}\pm\lim{g(x)}=A\pm B$$
$$\lim{[f(x)\times g(x)]}=\lim{f(x)}\times\lim{g(x)}=A\times B$$
保号性：
$$若 \lim_{x \to x_0 }{f(x)=A}，且A>0（或A<0）$$
保序性
$$设\lim_{x \to x_0}{f(x)}=A$$
子列收敛性
$$若\lim_{x\to a}{f(x)}=A，\数列 f(xn) 是 f(x) 当 x\to a 时的一个子列，\则有 \lim{n\to \infty}{f(x_n)}=A$$
$$\lim{x\to 0}{\frac{\sin x}{x}}=1\ \lim{n\to\infty}{n\sin{\frac{1}{n}}}=1\ \lim_{n\to\infty}{\sqrt{n}nn\frac{1}{\sqrt{n}}}=1$$
$$\lim_{x\to 0}{x\sin{\frac{1}{x}}}$$
无穷小x有界=无穷小
无穷小x常数=无穷小
证明$\lim_{x\to 0}{\sin{\frac{1}{x}}}$不存在
令$x_n=\frac{1}{n\pi}$
$\lim_{n\to 0}{xn}=0,x_n\neq 0$
$$\cancel{asdfsafasdfasdfasdfasdfasFasfasdfasdfasdfasfdf}$$
$$xn'={\frac{1}{\frac{4n+1}{2}\pi}},\lim{n\to\infty}x_n'=0,且x_n'\neq 0$$
$$\begin{bmatrix}2 & 3 & 3 \ 2 & 1 & 2 \ 1 & 5 & 4\end{bmatrix} = 2\times 3+3\times2+6\times5-3-20-18$$
$$若 AB=E, BA=E A，B 都是可逆矩阵，且互逆。$$
$$x\to\infty, \lim_{x\to\infty}{f(x)}=A$$
$$\forall\epsilon>0,\because x>0，使得x>X，恒有|f(x)-A|<\epsilon$$
$$x\to-\infty,\lim_{x\to\infty}{f(x)}=A$$
$$\forall\epsilon>0,\because x>0，使当 x< -X时，恒有 |f(x)-A|<\epsilon$$
$$证明\lim_{x\to\infty}{\frac{\sin{x}}{x}}=0,
|\frac{\sin{x}}{x}-0|=|\frac{\sin{x}}{x}<\frac{1}{|x|}<\epsilon，即|x| >\frac{1}{\epsilon}
\forall\epsilon>0，取X=\frac{1}{\epsilon}，则当|x| >X时恒有|\frac{\sin{x}}{x}-1|<\epsilon
故 \lim_{x\to\infty}{\frac{\sin{x}}{x}}=0$$
$$\left{ \begin{array}{rl}
2x_1-x_2 =& 5, \
3x_1+2x_2=& 11
\end{array} \right.$$
$$D=\begin{vmatrix}2 & -1 \ 3 & 2\end{vmatrix}=7,D_1=\begin{vmatrix}5 & -1 \ 11 & 2\end{vmatrix}=21,D_2=\begin{vmatrix}2 & 5 \ 3 & 11\end{vmatrix}=7,$$
由 $D=7\neq0$知方程有唯一解：
$$x_1=\frac{D_1}{D}=3,x_2=\frac{D_2}{D}=1.$$
$$A=\begin{bmatrix}
1 & 3 & -2 & 2 \
0 & 2 & -1 & 3 \
-2 & 0 & 1 & 5
\end{bmatrix}
\xlongequal{\begin{aligned}r_3-2r_1 \ r_3-3r_2\end{aligned}}
\begin{bmatrix}1 & 3 & -2 & 2 \0 & 2 & -1 & 3 \0 & 0 & 1 & 0\end {bmatrix}
$$
https://www.zhihu.com/question/302351453
对称矩阵的解法
$A$普通矩阵
$A^{-1}$逆矩阵
$B=\frac{1}{|A|}A^*$
$(A^*)^{-1}=\frac{1}{|A|}A$
$AB=BA=E$
$A\frac{1}{|A|}A^=\frac{1}{|A|}A^A=E$
$$
\begin{vmatrix}
\frac{a}{ac-bc} & \frac{b}{ac-bc} \
\frac {c}{ac-bc} & \frac{d}{ac-bc}
\end{vmatrix}
$$
伴随矩阵
https://baike.baidu.com/item/%E4%BC%B4%E9%9A%8F%E7%9F%A9%E9%98%B5/10034983
https://www.zhihu.com/question/360606456
http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/xxzd02.html
分析，对。。。
要使。。。
则需。。。
故。。。
矩阵乘法与逆矩阵
https://zhuanlan.zhihu.com/p/95725643
http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0605.html
如果n阶方阵$A，B$可逆
$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$
$(A^{-1})^{-1}=A$
$(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}$
$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
https://zhuanlan.zhihu.com/p/340635814
https://zhuanlan.zhihu.com/p/186266784
$A^{-1}=B \Longleftrightarrow AB=E$
$(A^{-1})^{-1}=A\Longleftrightarrow A^{-1}A=E$
$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\Longleftrightarrow A^T(A^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=E=E^T$
$\frac{1}{\lambda}A^{-1}\times\lambda A=(\frac{1}{\lambda}\lambda)A^{-1}\times A = 1:E=E$
等价关系
-
反身性：$A\Longleftrightarrow A$
-
对称性：$若 A \Longleftrightarrow B，则 B\Longleftrightarrow A$
- 传递性：$若 A \Longleftrightarrow B，B \Longleftrightarrow C，则 A \Longleftrightarrow C$
初等变换
$P_j+r_i$
$r_i+r_j$
阶梯形矩阵
可以画出一条阶梯线，先的下方全是0
每个台阶只有一个
$$\begin{matrix}
1 & 0 & -1 & 0 & 4 \
0 & 1 & -1 & 0 & 3 \
0 & 0 & 0 & 1 & -3 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}$$
设存在一个初等矩阵，$P_1,P_2,\dots,P_n$
使得$A=P_1P_2\dots P_n$
$\because$初等矩阵可逆$\therefore$$A$可逆
设 A 可逆，目标 A 的标准形为
$$F=\begin{bmatrix}E_r & 0 \ 0 & 0\end{bmatrix}$$
则 $F\backsim A_1$，即 $F$ 经过有限次初等变换，可变为 $A$，即存在有限次初等变换，使$P_1P_2\cdots PnFP{X+1}\cdots P_i=A$
$\because A_1,P_1,P_2\cdots P_i 均可逆$
$\therefore F$可逆
$\therefore r= n_1$
即 $E=F$，$\therefore A=P_1P_2\cdots P_rEP_r+\cdots P_i$
-
$r(AB)\leq \min{{r(A),r(B)}}$
-
$r\Biggl({\begin{pmatrix}A & 0 \ 0 & B\end{pmatrix}}\Biggl)\xlongequal{}r(A)+r(B)$
- $r(子矩阵)\leq r(包含子矩阵的分块矩阵)$比如$r\Bigl((AB)\Bigl)\leq r\Biggl({\begin{pmatrix}A & B \ 0 & C\end{pmatrix}}\Biggl)$再如$r(A)\leq r\Biggl({\begin{pmatrix}A & B \ C & D\end{pmatrix}}\Biggl)$
特征值
https://zhuanlan.zhihu.com/p/142597513
极大线性无关组
https://blog.csdn.net/kukumer/article/details/107126031
https://blog.csdn.net/guoziqing506/article/details/80557920
sdf
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sd
sd
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a
sd
d
f
https://blog.csdn.net/qq_38943651/category_9417843.html
https://www.zhihu.com/column/c_1086313475025907712