简单的线性代数入门

$$\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$$

$$\lim{[f(x)\pm g(x)]}=\lim{f(x)}\pm\lim{g(x)}=A\pm B$$

$$\lim{[f(x)\times g(x)]}=\lim{f(x)}\times\lim{g(x)}=A\times B$$

保号性：
$$若 \lim_{x \to x_0 }{f(x)=A}，且A>0（或A<0）$$

保序性
$$设\lim_{x \to x_0}{f(x)}=A$$

子列收敛性

$$若\lim_{x\to a}{f(x)}=A$$

数列 $f(x_n)$ 是 $f(x)$ 当 $x\to a$ 时的一个子列，
则有

$$\lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=A$$

$$ \begin{aligned} \lim_ {x\to 0}{\frac{\sin x}{x}}&=1 \\ \lim_ {n\to\infty}{n\sin{\frac{1}{n}}}&=1 \\ \lim_{n\to\infty}{\sqrt{n}nn\frac{1}{\sqrt{n}}}&=1 \end{aligned} $$

$$\lim_{x\to 0}{x\sin{\frac{1}{x}}}$$

无穷小x有界=无穷小
无穷小x常数=无穷小

证明 $\lim_{x\to 0}{\sin{\frac{1}{x}}}$ 不存在

令 $x_n=\frac{1}{n\pi}$

$\lim_{n\to 0}{xn}=0,x_n\neq 0$

$$\cancel{asdfsafasdfasdfasdfasdfasFasfasdfasdfasdfasfdf}$$

$$x_n'=\{\frac{1}{\frac{4n+1}{2}\pi}\},\lim_{n\to\infty}x_n'=0,且x_n'\neq 0$$

$$\begin{bmatrix}2 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & 4\end{bmatrix} = 2\times 3+3\times2+6\times5-3-20-18$$

$$若 AB=E, BA=E A，B 都是可逆矩阵，且互逆。$$

$$x\to\infty, \lim_{x\to\infty}{f(x)}=A$$

$$\forall\epsilon>0,\because x>0，使得x>X，恒有|f(x)-A|<\epsilon$$

$$x\to-\infty,\lim_{x\to\infty}{f(x)}=A$$

$$\forall\epsilon>0,\because x>0，使当 x< -X时，恒有 |f(x)-A|<\epsilon$$

$$证明\lim_{x\to\infty}{\frac{\sin{x}}{x}}=0,
|\frac{\sin{x}}{x}-0|=|\frac{\sin{x}}{x}<\frac{1}{|x|}<\epsilon，即|x| >\frac{1}{\epsilon}
\forall\epsilon>0，取X=\frac{1}{\epsilon}，则当|x| >X时恒有|\frac{\sin{x}}{x}-1|<\epsilon
故 \lim_{x\to\infty}{\frac{\sin{x}}{x}}=0$$

$$\left{ \begin{array}{rl}
2x_1-x_2 =& 5, \
3x_1+2x_2=& 11
\end{array} \right.$$

$$D=\begin{vmatrix}2 & -1 \\ 3 & 2\end{vmatrix}=7,D_1=\begin{vmatrix}5 & -1 \\ 11 & 2\end{vmatrix}=21,D_2=\begin{vmatrix}2 & 5 \\ 3 & 11\end{vmatrix}=7,$$
由 $D=7\neq0$知方程有唯一解：
$$x_1=\frac{D_1}{D}=3,x_2=\frac{D_2}{D}=1.$$

$$A=\begin{bmatrix}
1 & 3 & -2 & 2 \
0 & 2 & -1 & 3 \
-2 & 0 & 1 & 5
\end{bmatrix}
\xlongequal{\begin{aligned}r_3-2r_1 \ r_3-3r_2\end{aligned}}
\begin{bmatrix}1 & 3 & -2 & 2 \0 & 2 & -1 & 3 \0 & 0 & 1 & 0\end {bmatrix}

$$ https://www.zhihu.com/question/302351453 对称矩阵的解法 $A$ 普通矩阵 $A^{-1}$ 逆矩阵 $B=\frac{1}{|A|}A^*$ $(A^*)^{-1}=\frac{1}{|A|}A$ $AB=BA=E$ $A\frac{1}{|A|}A^*=\frac{1}{|A|}A^*A=E$ $$

\begin{vmatrix}
\frac{a}{ac-bc} & \frac{b}{ac-bc} \
\frac {c}{ac-bc} & \frac{d}{ac-bc}
\end{vmatrix}

$$ 伴随矩阵 https://baike.baidu.com/item/%E4%BC%B4%E9%9A%8F%E7%9F%A9%E9%98%B5/10034983 https://www.zhihu.com/question/360606456 http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/xxzd02.html 分析，对。。。 要使。。。 则需。。。 故。。。 矩阵乘法与逆矩阵 [行列式的定义](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/ch0101.html) [克拉默法则](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/ch0104.html) [逆矩阵](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0606.html) [方阵的逆矩阵](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/ch0203.html) https://zhuanlan.zhihu.com/p/95725643 [行列式的性质与计算](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0602.html) [二阶和三阶行列式](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0601.html) [特征值与特征向量](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/resource/contents/ch_05/ch_05.html) [矩阵的秩](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/ch0206.html) http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0605.html [矩阵相似对角化](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/02198/resource/contents/ch_05/ch_05.html) [分块矩阵](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/ch0204.html) [n维向量及线性运算](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/ch0301.html) [向量空间](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/resource/contents/ch_03/ch_03.html) [矩阵的运算](http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/ch0202.html) 如果n阶方阵$A，B$可逆 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$ $(A^{-1})^{-1}=A$ $(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}$ $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$ $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ https://zhuanlan.zhihu.com/p/340635814 https://zhuanlan.zhihu.com/p/186266784 $A^{-1}=B \Longleftrightarrow AB=E$ $(A^{-1})^{-1}=A\Longleftrightarrow A^{-1}A=E$ $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\Longleftrightarrow A^T(A^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=E=E^T$ $\frac{1}{\lambda}A^{-1}\times\lambda A=(\frac{1}{\lambda}\lambda)A^{-1}\times A = 1:E=E$ 等价关系 1. 反身性：$A\Longleftrightarrow A$ 2. 对称性：$若 A \Longleftrightarrow B，则 B\Longleftrightarrow A$ 3. 传递性：$若 A \Longleftrightarrow B，B \Longleftrightarrow C，则 A \Longleftrightarrow C$ 初等变换 $P_j+r_i$ $r_i+r_j$ 阶梯形矩阵 可以画出一条阶梯线，先的下方全是0 每个台阶只有一个 $$\begin{matrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}$$ 设存在一个初等矩阵，$P_1,P_2,\dots,P_n$ 使得$A=P_1P_2\dots P_n$ $\because$初等矩阵可逆$\therefore$$A$可逆 设 A 可逆，目标 A 的标准形为 $$F=\begin{bmatrix}E_r & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$$ 则 $F\backsim A_1$，即 $F$ 经过有限次初等变换，可变为 $A$，即存在有限次初等变换，使$P_1P_2\cdots P_nFP_{X+1}\cdots P_i=A$ $\because A_1,P_1,P_2\cdots P_i 均可逆$ $\therefore F$可逆 $\therefore r= n_1$ 即 $E=F$，$\therefore A=P_1P_2\cdots P_rEP_r+\cdots P_i$ 1. $r(AB)\leq \min\{{r(A),r(B)}\}$ 2. $r\Biggl({\begin{pmatrix}A & 0 \\ 0 & B\end{pmatrix}}\Biggl)\xlongequal{}r(A)+r(B)$ 3. $r(子矩阵)\leq r(包含子矩阵的分块矩阵)$比如$r\Bigl((AB)\Bigl)\leq r\Biggl({\begin{pmatrix}A & B \\ 0 & C\end{pmatrix}}\Biggl)$再如$r(A)\leq r\Biggl({\begin{pmatrix}A & B \\ C & D\end{pmatrix}}\Biggl)$ ## 特征值 https://zhuanlan.zhihu.com/p/142597513 ## 极大线性无关组 https://blog.csdn.net/kukumer/article/details/107126031 [有关秩的几个重要式子](https://blog.csdn.net/kukumer/article/details/107119595) https://blog.csdn.net/guoziqing506/article/details/80557920 [奇异矩阵](https://blog.csdn.net/guoziqing506/article/details/80557967) [矩阵的分解](https://blog.csdn.net/guoziqing506/article/details/80540323) sdf sdf sd sd sd a sd d f > https://blog.csdn.net/qq_38943651/category_9417843.html > https://www.zhihu.com/column/c_1086313475025907712