Base64

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Base64 是网络（Network）上最常见的用于传输8Bit字节码的编码方式之一，Base64就是一种基于64个可打印字符来表示二进制数据的方法。可查看 [RFC2045][RFC2045]、[RFC2046][RFC2046]、[RFC2047][RFC2047]、[RFC2048][RFC2048]、[RFC2049][RFC2049]，上面有 MIME 的详细规范。
Base64 编码是从二进制到字符的过程，可用于在 HTTP 环境下传递较长的标识信息。采用 Base64 编码具有不可读性，需要解码后才能阅读。
Base64 由于以上优点被广泛应用于计算机的各个领域，然而由于输出内容中包括两个以上“符号类”字符（+, /, =），不同的应用场景又分别研制了 Base64 的各种“变种”。为统一和规范化 Base64 的输出， Base62x 被视为无符号化的改进版本。

简介

标准的 Base64 并不适合直接放在URL里传输，因为 URL 编码器会把标准 Base64 中的/和+字符变为形如%XX的形式，而这些%号在存入数据库时还需要再进行转换，因为 ANSI SQL 中已将%号用作通配符。
为解决此问题，可采用一种用于 URL 的改进 Base64 编码，它在末尾填充=号，并将标准 Base64 中的+和/分别改成了-和_，这样就免去了在 URL 编解码和数据库存储时所要作的转换，避免了编码信息长度在此过程中的增加，并统一了数据库、表单等处对象标识符的格式。
另有一种用于正则表达式的改进 Base64 变种，它将+和/改成了!和-，因为+,*以及前面在 IRCu 中用到的[和]在正则表达式中都可能具有特殊含义。
此外还有一些变种，它们将+/改为_-或._（用作编程语言中的标识符名称）或.-（用于 XML 中的 Nmtoken ）甚至_:（用于 XML 中的 Name ）。
Base64 要求把每三个 8Bit 的字节转换为四个 6Bit 的字节（3*8 = 4*6 = 24），然后把 6Bit 再添两位高位 0，组成四个 8Bit 的字节，也就是说，转换后的字符串理论上将要比原来的长 1/3。

应用

Mozilla Thunderbird和Evolution用Base64来保密电子邮件密码
Base64 也会经常用作一个简单的“加密”来保护某些数据，而真正的加密通常都比较繁琐。
垃圾讯息传播者用Base64来避过反垃圾邮件工具，因为那些工具通常都不会翻译Base64的讯息。
在LDIF档案，Base64用作编码字串。

规则

关于这个编码的规则：

1. 把 3 个字节变成 4 个字节。
2. 每 76 个字符加一个换行符。
3. 最后的结束符也要处理。

   例子1

   转换前 11111111，11111111，11111111 （二进制）
   转换后 00111111，00111111，00111111，00111111 （二进制）
   上面的三个字节是原文，下面的四个字节是转换后的 Base64 编码，其前两位均为 0。
   转换后，我们用一个码表来得到我们想要的字符串（也就是最终的 Base64 编码），这个表是这样的：（摘自 [RFC2045][RFC2045] ）
   转换表

   Table 1: The Base64 Alphabet

   索引（Index）	对应字符	索引	对应字符	索引	对应字符	索引	对应字符
   0	A	17	R	34	i	51	z
   1	B	18	S	35	j	52	0
   2	C	19	T	36	k	53	1
   3	D	20	U	37	l	54	2
   4	E	21	V	38	m	55	3
   5	F	22	W	39	n	56	4
   6	G	23	X	40	o	57	5
   7	H	24	Y	41	p	58	6
   8	I	25	Z	42	q	59	7
   9	J	26	a	43	r	60	8
   10	K	27	b	44	s	61	9
   11	L	28	c	45	t	62	+
   12	M	29	d	46	u	63	/
   13	N	30	e	47	v
   14	O	31	f	48	w
   15	P	32	g	49	x
   16	Q	33	h	50	y

   例子2

   转换前 10101101，10111010，01110110
   转换后 00101011，00011011，00101001，00110110
   十进制 43 27 41 54
   对应码表中的值 r b p 2
   所以上面的 24 位编码，编码后的 Base64 值为 rbp2
   解码同理，把 rbq2 的二进制位连接上再重组得到三个 8 位值，得出原码。
   （解码只是编码的逆过程，有关 MIME 的 RFC 还有很多，如果需要详细情况请自行查找。）

   • 第一个字节，根据源字节的第一个字节处理。
     规则：源第一字节右移两位，去掉低 2 位，高 2 位补零。
     既：00 + 高6位
   • 第二个字节，根据源字节的第一个字节和第二个字节联合处理。
     规则如下，第一个字节高6位去掉然后左移四位，第二个字节右移四位
     即：源第一字节低2位 + 源第2字节高4位
   • 第三个字节，根据源字节的第二个字节和第三个字节联合处理，
     规则第二个字节去掉高4位并左移两位（得高6位），第三个字节右移6位并去掉高6位（得低2位），相加即可
   • 第四个字节，规则，源第三字节去掉高2位即可

     //用更接近于编程的思维来说，编码的过程是这样的：
     // 第一个字符通过右移2位获得第一个目标字符的Base64表位置，根据这个数值取到表上相应的字符，就是第一个目标字符。
     // 然后将第一个字符与0x03(00000011)进行与(&)操作并左移4位,接着第二个字符右移4位与前者相或(|)，即获得第二个目标字符。
     // 再将第二个字符与0x0f(00001111)进行与(&)操作并左移2位,接着第三个字符右移6位与前者相或(|)，获得第三个目标字符。
     // 最后将第三个字符与0x3f(00111111)进行与(&)操作即获得第四个目标字符。
     // 在以上的每一个步骤之后，再把结果与 0x3F 进行 AND 位操作，就可以得到编码后的字符了。

     原文的字节数量应该是 3 的倍数，如果这个条件不能满足的话，具体的解决办法是这样的：原文剩余的字节根据编码规则继续单独转 (1变2，2变3；不够的位数用0补全)，再用=号补满 4 个字节。这就是为什么有些 Base64 编码会以一个或两个等号结束的原因，但等号最多只有两个。因为一个原字节至少会变成两个目标字节，所以余数任何情况下都只可能是 0，1，2 这三个数中的一个。如果余数是 0 的话，就表示原文字节数正好是 3 的倍数（最理想的情况）。如果是 1 的话，转成 2 个 Base64 编码字符，为了让 Base64 编码是 4 的倍数，就要补 2 个等号；同理，如果是 2 的话，就要补 1 个等号。

     原理

     转码过程例子：
     3*8=4*6
     内存 1 个字节占 8 位
     转前： s 1 3
     先转成ascii：对应 115 49 51
     2 进制： 01110011 00110001 00110011
     6 个一组（4 组） 011100110011000100110011
     然后才有后面的 011100 110011 000100 110011
     然后计算机一个字节占 8 位，不够就自动补两个高位0了
     所以有了高位补 0
     科学计算器输入 00011100 00110011 00000100 00110011
     得到 28 51 4 51
     查下对照表 c z E z

[RFC2045]: https://tools.ietf.org/html/rfc2045 "Multipurpose Internet Mail Extensions
(MIME) Part One:
Format of Internet Message Bodies"
[RFC2046]: https://tools.ietf.org/html/rfc2046 "Multipurpose Internet Mail Extensions
(MIME) Part Two:
Media Types"
[RFC2047]: https://tools.ietf.org/html/rfc2047 "Multipurpose Internet Mail Extensions
(MIME) Part Three:
Message Header Extensions for Non-ASCII Text"
[RFC2048]: https://tools.ietf.org/html/rfc2048 "Multipurpose Internet Mail Extensions
(MIME) Part Four:
Registration Procedures"
[RFC2049]: https://tools.ietf.org/html/rfc2049 "Multipurpose Internet Mail Extensions
(MIME) Part Five:
Conformance Criteria and Examples"

老子曰：“至治之极，邻国相望，鸡狗之声相闻，民各甘其食，美其服，安其俗，乐其业，至老死不相往来。”必用此为务，輓近世涂民耳目，则几无行矣。

　　太史公曰：夫神农以前，吾不知已。至若诗书所述虞夏以来，耳目欲极声色之好，口欲穷刍豢之味，身安逸乐，而心夸矜埶能之荣。使俗之渐民久矣，虽户说以眇论，终不能化。故善者因之，其次利道之，其次教诲之，其次整齐之，最下者与之争。

　　夫山西饶材、竹、穀、纑、旄、玉石；山东多鱼、盐、漆、丝、声色；江南出棻、梓、姜、桂、金、锡、连、丹沙、犀、玳瑁、珠玑、齿革；龙门、碣石北多马、牛、羊、旃裘、筋角；铜、铁则千里往往山出釭置：此其大较也。皆中国人民所喜好，谣俗被服饮食奉生送死之具也。故待农而食之，虞而出之，工而成之，商而通之。此宁有政教发徵期会哉？人各任其能，竭其力，以得所欲。故物贱之徵贵，贵之徵贱，各劝其业，乐其事，若水之趋下，日夜无休时，不召而自来，不求而民出之。岂非道之所符，而自然之验邪？

　　周书曰：“农不出则乏其食，工不出则乏其事，商不出则三宝绝，虞不出则财匮少。”财匮少而山泽不辟矣。此四者，民所衣食之原也。原大则饶，原小则鲜。上则富国，下则富家。贫富之道，莫之夺予，而巧者有馀，拙者不足。故太公望封於营丘，地潟卤，人民寡，於是太公劝其女功，极技巧，通鱼盐，则人物归之，繦至而辐凑。故齐冠带衣履天下，海岱之间敛袂而往朝焉。其後齐中衰，管子修之，设轻重九府，则桓公以霸，九合诸侯，一匡天下；而管氏亦有三归，位在陪臣，富於列国之君。是以齐富彊至於威、宣也。

　　故曰：“仓廪实而知礼节，衣食足而知荣辱。”礼生於有而废於无。故君子富，好行其德；小人富，以適其力。渊深而鱼生之，山深而兽往之，人富而仁义附焉。富者得埶益彰，失埶则客无所之，以而不乐。夷狄益甚。谚曰：“千金之子，不死於市。”此非空言也。故曰：“天下熙熙，皆为利来；天下攘攘，皆为利往。”夫千乘之王，万家之侯，百室之君，尚犹患贫，而况匹夫编户之民乎！

　　昔者越王勾践困於会稽之上，乃用范蠡、计然。计然曰：“知斗则修备，时用则知物，二者形则万货之情可得而观已。故岁在金，穰；水，毁；木，饥；火，旱。旱则资舟，水则资车，物之理也。六岁穰，六岁旱，十二岁一大饥。夫粜，二十病农，九十病末。末病则财不出，农病则草不辟矣。上不过八十，下不减三十，则农末俱利，平粜齐物，关市不乏，治国之道也。积著之理，务完物，无息币。以物相贸易，腐败而食之货勿留，无敢居贵。论其有馀不足，则知贵贱。贵上极则反贱，贱下极则反贵。贵出如粪土，贱取如珠玉。财币欲其行如流水。”修之十年，国富，厚赂战士，士赴矢石，如渴得饮，遂报彊吴，观兵中国，称号“五霸”。

　　范蠡既雪会稽之耻，乃喟然而叹曰：“计然之策七，越用其五而得意。既已施於国，吾欲用之家。”乃乘扁舟浮於江湖，变名易姓，適齐为鸱夷子皮，之陶为硃公。硃公以为陶天下之中，诸侯四通，货物所交易也。乃治产积居。与时逐而不责於人。故善治生者，能择人而任时。十九年之中三致千金，再分散与贫交疏昆弟。此所谓富好行其德者也。後年衰老而听子孙，子孙脩业而息之，遂至巨万。故言富者皆称陶硃公。

　　子赣既学於仲尼，退而仕於卫，废著鬻财於曹、鲁之间，七十子之徒，赐最为饶益。原宪不厌糟糠，匿於穷巷。子贡结驷连骑，束帛之币以聘享诸侯，所至，国君无不分庭与之抗礼。夫使孔子名布扬於天下者，子贡先後之也。此所谓得埶而益彰者乎？

　　白圭，周人也。当魏文侯时，李克务尽地力，而白圭乐观时变，故人弃我取，人取我与。夫岁孰取穀，予之丝漆；茧出取帛絮，予之食。太阴在卯，穰；明岁衰恶。至午，旱；明岁美。至酉，穰；明岁衰恶。至子，大旱；明岁美，有水。至卯，积著率岁倍。欲长钱，取下穀；长石斗，取上种。能薄饮食，忍嗜欲，节衣服，与用事僮仆同苦乐，趋时若猛兽挚鸟之发。故曰：“吾治生产，犹伊尹、吕尚之谋，孙吴用兵，商鞅行法是也。是故其智不足与权变，勇不足以决断，仁不能以取予，彊不能有所守，虽欲学吾术，终不告之矣。”盖天下言治生祖白圭。白圭其有所试矣，能试有所长，非苟而已也。

　　猗顿用盬盐起。而邯郸郭纵以铁冶成业，与王者埒富。

　　乌氏倮畜牧，及众，斥卖，求奇缯物，间献遗戎王。戎王什倍其偿，与之畜，畜至用谷量马牛。秦始皇帝令倮比封君，以时与列臣朝请。而巴寡妇清，其先得丹穴，而擅其利数世，家亦不訾。清，寡妇也，能守其业，用财自卫，不见侵犯。秦皇帝以为贞妇而客之，为筑女怀清台。夫倮鄙人牧长，清穷乡寡妇，礼抗万乘，名显天下，岂非以富邪？

　　汉兴，海内为一，开关梁，弛山泽之禁，是以富商大贾周流天下，交易之物莫不通，得其所欲，而徙豪杰诸侯彊族於京师。

　　关中自汧、雍以东至河、华，膏壤沃野千里，自虞夏之贡以为上田，而公刘適邠，大王、王季在岐，文王作丰，武王治镐，故其民犹有先王之遗风，好稼穑，殖五穀，地重，重为邪。及秦文、、缪居雍，隙陇蜀之货物而多贾。献公徙栎邑，栎邑北卻戎翟，东通三晋，亦多大贾。昭治咸阳，因以汉都，长安诸陵，四方辐凑并至而会，地小人众，故其民益玩巧而事末也。南则巴蜀。巴蜀亦沃野，地饶卮、姜、丹沙、石、铜、铁、竹、木之器。南御滇僰，僰僮。西近邛笮，笮马、旄牛。然四塞，栈道千里，无所不通，唯襃斜绾毂其口，以所多易所鲜。天水、陇西、北地、上郡与关中同俗，然西有羌中之利，北有戎翟之畜，畜牧为天下饶。然地亦穷险，唯京师要其道。故关中之地，於天下三分之一，而人众不过什三；然量其富，什居其六。

　　昔唐人都河东，殷人都河内，周人都河南。夫三河在天下之中，若鼎足，王者所更居也，建国各数百千岁，土地小狭，民人众，都国诸侯所聚会，故其俗纤俭习事。杨、平阳陈西贾秦、翟，北贾种、代。种、代，石北也，地边胡，数被寇。人民矜懻忮，好气，任侠为奸，不事农商。然迫近北夷，师旅亟往，中国委输时有奇羡。其民羯羠不均，自全晋之时固已患其僄悍，而武灵王益厉之，其谣俗犹有赵之风也。故杨、平阳陈掾其间，得所欲。温、轵西贾上党，北贾赵、中山。中山地薄人众，犹有沙丘纣淫地馀民，民俗懁急，仰机利而食。丈夫相聚游戏，悲歌慷慨，起则相随椎剽，休则掘冢作巧奸冶，多美物，为倡优。女子则鼓鸣瑟，跕屣，游媚贵富，入後宫，遍诸侯。

　　然邯郸亦漳、河之间一都会也。北通燕、涿，南有郑、卫。郑、卫俗与赵相类，然近梁、鲁，微重而矜节。濮上之邑徙野王，野王好气任侠，卫之风也。

　　夫燕亦勃、碣之间一都会也。南通齐、赵，东北边胡。上谷至辽东，地踔远，人民希，数被寇，大与赵、代俗相类，而民雕捍少虑，有鱼盐枣栗之饶。北邻乌桓、夫馀，东绾秽貉、朝鲜、真番之利。

　　洛阳东贾齐、鲁，南贾梁、楚。故泰山之阳则鲁，其阴则齐。

　　齐带山海，膏壤千里，宜桑麻，人民多文采布帛鱼盐。临菑亦海岱之间一都会也。其俗宽缓阔达，而足智，好议论，地重，难动摇，怯於众斗，勇於持刺，故多劫人者，大国之风也。其中具五民。

　　而邹、鲁滨洙、泗，犹有周公遗风，俗好儒，备於礼，故其民龊龊。颇有桑麻之业，无林泽之饶。地小人众，俭啬，畏罪远邪。及其衰，好贾趋利，甚於周人。

　　夫自鸿沟以东，芒、砀以北，属巨野，此梁、宋也。陶、睢阳亦一都会也。昔尧作成阳，舜渔於雷泽，汤止于亳。其俗犹有先王遗风，重厚多君子，好稼穑，虽无山川之饶，能恶衣食，致其蓄藏。

　　越、楚则有三俗。夫自淮北沛、陈、汝南、南郡，此西楚也。其俗剽轻，易发怒，地薄，寡於积聚。江陵故郢都，西通巫、巴，东有云梦之饶。陈在楚夏之交，通鱼盐之货，其民多贾。徐、僮、取虑，则清刻，矜己诺。

　　彭城以东，东海、吴、广陵，此东楚也。其俗类徐、僮。朐、缯以北，俗则齐。浙江南则越。夫吴自阖庐、春申、王濞三人招致天下之喜游子弟，东有海盐之饶，章山之铜，三江、五湖之利，亦江东一都会也。

　　衡山、九江、江南、豫章、长沙，是南楚也，其俗大类西楚。郢之後徙寿春，亦一都会也。而合肥受南北潮，皮革、鲍、木输会也。与闽中、干越杂俗，故南楚好辞，巧说少信。江南卑湿，丈夫早夭。多竹木。豫章出黄金，长沙出连、锡，然堇堇物之所有，取之不足以更费。九疑、苍梧以南至儋耳者，与江南大同俗，而杨越多焉。番禺亦其一都会也，珠玑、犀、玳瑁、果、布之凑。

　　颍川、南阳，夏人之居也。夏人政尚忠朴，犹有先王之遗风。颍川敦愿。秦末世，迁不轨之民於南阳。南阳西通武关、郧关，东南受汉、江、淮。宛亦一都会也。俗杂好事，业多贾。其任侠，交通颍川，故至今谓之“夏人”。

　　夫天下物所鲜所多，人民谣俗，山东食海盐，山西食盐卤，领南、沙北固往往出盐，大体如此矣。

　　总之，楚越之地，地广人希，饭稻羹鱼，或火耕而水耨，果隋蠃蛤，不待贾而足，地埶饶食，无饥馑之患，以故呰窳偷生，无积聚而多贫。是故江淮以南，无冻饿之人，亦无千金之家。沂、泗水以北，宜五穀桑麻六畜，地小人众，数被水旱之害，民好畜藏，故秦、夏、梁、鲁好农而重民。三河、宛、陈亦然，加以商贾。齐、赵设智巧，仰机利。燕、代田畜而事蚕。

　　由此观之，贤人深谋於廊庙，论议朝廷，守信死节隐居岩穴之士设为名高者安归乎？归於富厚也。是以廉吏久，久更富，廉贾归富。富者，人之情性，所不学而俱欲者也。故壮士在军，攻城先登，陷阵卻敌，斩将搴旗，前蒙矢石，不避汤火之难者，为重赏使也。其在闾巷少年，攻剽椎埋，劫人作奸，掘冢铸币，任侠并兼，借交报仇，篡逐幽隐，不避法禁，走死地如骛者，其实皆为财用耳。今夫赵女郑姬，设形容，揳鸣琴，揄长袂，蹑利屣，目挑心招，出不远千里，不择老少者，奔富厚也。游闲公子，饰冠剑，连车骑，亦为富贵容也。弋射渔猎，犯晨夜，冒霜雪，驰阬谷，不避猛兽之害，为得味也。博戏驰逐，斗鸡走狗，作色相矜，必争胜者，重失负也。医方诸食技术之人，焦神极能，为重糈也。吏士舞文弄法，刻章伪书，不避刀锯之诛者，没於赂遗也。农工商贾畜长，固求富益货也。此有知尽能索耳，终不馀力而让财矣。

　　谚曰：“百里不贩樵，千里不贩籴。”居之一岁，种之以穀；十岁，树之以木；百岁，来之以德。德者，人物之谓也。今有无秩禄之奉，爵邑之入，而乐与之比者。命曰“素封”。封者食租税，岁率户二百。千户之君则二十万，朝觐聘享出其中。庶民农工商贾，率亦岁万息二千，百万之家则二十万，而更徭租赋出其中。衣食之欲，恣所好美矣。故曰陆地牧马二百蹄，牛蹄角千，千足羊，泽中千足彘，水居千石鱼陂，山居千章之材。安邑千树枣；燕、秦千树栗；蜀、汉、江陵千树橘；淮北、常山已南，河济之间千树萩；陈、夏千亩漆；齐、鲁千亩桑麻；渭川千亩竹；及名国万家之城，带郭千亩亩锺之田，若千亩卮茜，千畦姜韭：此其人皆与千户侯等。然是富给之资也，不窥市井，不行异邑，坐而待收，身有处士之义而取给焉。若至家贫亲老，妻子软弱，岁时无以祭祀进醵，饮食被服不足以自通，如此不惭耻，则无所比矣。是以无财作力，少有斗智，既饶争时，此其大经也。今治生不待危身取给，则贤人勉焉。是故本富为上，末富次之，奸富最下。无岩处奇士之行，而长贫贱，好语仁义，亦足羞也。

　　凡编户之民，富相什则卑下之，伯则畏惮之，千则役，万则仆，物之理也。夫用贫求富，农不如工，工不如商，刺绣文不如倚市门，此言末业，贫者之资也。通邑大都，酤一岁千酿，醯酱千瓨，浆千甔，屠牛羊彘千皮，贩穀粜千锺，薪千车，船长千丈，木千章，竹竿万个，其轺车百乘，牛车千两，木器魨者千枚，铜器千钧，素木铁器若卮茜千石，马蹄躈千，牛千足，羊彘千双，僮手指千，筋角丹沙千斤，其帛絮细布千钧，文采千匹，榻布皮革千石，漆千斗，糵麹盐豉千荅，鮐{此鱼}千斤，鲰千石，鲍千钧，枣栗千石者三之，狐龂裘千皮，羔羊裘千石，旃席千具，佗果菜千锺，子贷金钱千贯，节駔会，贪贾三之，廉贾五之，此亦比千乘之家，其大率也。佗杂业不中什二，则非吾财也。

　　请略道当世千里之中，贤人所以富者，令後世得以观择焉。

　　蜀卓氏之先，赵人也，用铁冶富。秦破赵，迁卓氏。卓氏见虏略，独夫妻推辇，行诣迁处。诸迁虏少有馀财，争与吏，求近处，处葭萌。唯卓氏曰：“此地狭薄。吾闻汶山之下，沃野，下有蹲鸱，至死不饥。民工於市，易贾。”乃求远迁。致之临邛，大喜，即铁山鼓铸，运筹策，倾滇蜀之民，富至僮千人。田池射猎之乐，拟於人君。

　　程郑，山东迁虏也，亦冶铸，贾椎髻之民，富埒卓氏，俱居临邛。

　　宛孔氏之先，梁人也，用铁冶为业。秦伐魏，迁孔氏南阳。大鼓铸，规陂池，连车骑，游诸侯，因通商贾之利，有游闲公子之赐与名。然其赢得过当，愈於纤啬，家致富数千金，故南阳行贾尽法孔氏之雍容。

　　鲁人俗俭啬，而曹邴氏尤甚，以铁冶起，富至巨万。然家自父兄子孙约，俯有拾，仰有取，贳贷行贾遍郡国。邹、鲁以其故多去文学而趋利者，以曹邴氏也。

　　齐俗贱奴虏，而刀间独爱贵之。桀黠奴，人之所患也，唯刀间收取，使之逐渔盐商贾之利，或连车骑，交守相，然愈益任之。终得其力，起富数千万。故曰“宁爵毋刀”，言其能使豪奴自饶而尽其力。

　　周人既纤，而师史尤甚，转毂以百数，贾郡国，无所不至。洛阳街居在齐秦楚赵之中，贫人学事富家，相矜以久贾，数过邑不入门，设任此等，故师史能致七千万。

　　宣曲任氏之先，为督道仓吏。秦之败也，豪杰皆争取金玉，而任氏独窖仓粟。楚汉相距荥阳也，民不得耕种，米石至万，而豪杰金玉尽归任氏，任氏以此起富。富人争奢侈，而任氏折节为俭，力田畜。田畜人争取贱贾，任氏独取贵善。富者数世。然任公家约，非田畜所出弗衣食，公事不毕则身不得饮酒食肉。以此为闾里率，故富而主上重之。

　　塞之斥也，唯桥姚已致马千匹，牛倍之，羊万头，粟以万锺计。吴楚七国兵起时，长安中列侯封君行从军旅，赍贷子钱，子钱家以为侯邑国在关东，关东成败未决，莫肯与。唯无盐氏出捐千金贷，其息什之。三月，吴楚平，一岁之中，则无盐氏之息什倍，用此富埒关中。

　　关中富商大贾，大抵尽诸田，田啬、田兰。韦家栗氏，安陵、杜杜氏，亦巨万。

　　此其章章尤异者也。皆非有爵邑奉禄弄法犯奸而富，尽椎埋去就，与时俯仰，获其赢利，以末致财，用本守之，以武一切，用文持之，变化有概，故足术也。若至力农畜，工虞商贾，为权利以成富，大者倾郡，中者倾县，下者倾乡里者，不可胜数。

　　夫纤啬筋力，治生之正道也，而富者必用奇胜。田农，掘业，而秦扬以盖一州。掘冢，奸事也，而田叔以起。博戏，恶业也，而桓发用富。行贾，丈夫贱行也，而雍乐成以饶。贩脂，辱处也，而雍伯千金。卖浆，小业也，而张氏千万。洒削，薄技也，而郅氏鼎食。胃脯，简微耳，浊氏连骑。马医，浅方，张里击锺。此皆诚壹之所致。

　　由是观之，富无经业，则货无常主，能者辐凑，不肖者瓦解。千金之家比一都之君，巨万者乃与王者同乐。岂所谓“素封”者邪？非也？

　　货殖之利，工商是营。废居善积，倚巿邪赢。白圭富国，计然强兵。倮参朝请，女筑怀清。素封千户，卓郑齐名。

无穷小量和无穷大量
洛必达法则
函数的基本概念和定积分的应用
定积分的概念及几何意义
定积分的基本性质
定积分的基本公式（牛顿-莱布尼茨公式）
定积分的应用
原函数与不定积分
不定积分换元法
分部积分法
无穷限反常积分

$$\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$$

$$\lim{[f(x)\pm g(x)]}=\lim{f(x)}\pm\lim{g(x)}=A\pm B$$

$$\lim{[f(x)\times g(x)]}=\lim{f(x)}\times\lim{g(x)}=A\times B$$

保号性：
$$若 \lim_{x \to x0 }{f(x)=A}，且A>0（或A<0）$$
保序性
$$设\lim{x \to x0}{f(x)}=A$$
子列收敛性
$$若\lim{x\to a}{f(x)}=A，\数列 f(xn) 是 f(x) 当 x\to a 时的一个子列，\则有 \lim{n\to \infty}{f(x_n)}=A$$

$$\lim{x\to 0}{\frac{\sin x}{x}}=1\ \lim{n\to\infty}{n\sin{\frac{1}{n}}}=1\ \lim_{n\to\infty}{\sqrt{n}nn\frac{1}{\sqrt{n}}}=1$$

$$\lim_{x\to 0}{x\sin{\frac{1}{x}}}$$
无穷小x有界=无穷小
无穷小x常数=无穷小

证明$\lim_{x\to 0}{\sin{\frac{1}{x}}}$不存在
令$xn=\frac{1}{n\pi}$
$\lim{n\to 0}{xn}=0,x_n\neq 0$

$$\cancel{asdfsafasdfasdfasdfasdfasFasfasdfasdfasdfasfdf}$$

$$xn'={\frac{1}{\frac{4n+1}{2}\pi}},\lim{n\to\infty}x_n'=0,且x_n'\neq 0$$

$$\begin{bmatrix}2 & 3 & 3 \ 2 & 1 & 2 \ 1 & 5 & 4\end{bmatrix} = 2\times 3+3\times2+6\times5-3-20-18$$

$$若 AB=E, BA=E A，B 都是可逆矩阵，且互逆。$$

$$x\to\infty, \lim_{x\to\infty}{f(x)}=A$$

$$\forall\epsilon>0,\because x>0，使得x>X，恒有|f(x)-A|<\epsilon$$

$$x\to-\infty,\lim_{x\to\infty}{f(x)}=A$$

$$\forall\epsilon>0,\because x>0，使当 x< -X时，恒有 |f(x)-A|<\epsilon$$

$$证明\lim{x\to\infty}{\frac{\sin{x}}{x}}=0,
|\frac{\sin{x}}{x}-0|=|\frac{\sin{x}}{x}<\frac{1}{|x|}<\epsilon，即|x| >\frac{1}{\epsilon}
\forall\epsilon>0，取X=\frac{1}{\epsilon}，则当|x| >X时恒有|\frac{\sin{x}}{x}-1|<\epsilon
故 \lim{x\to\infty}{\frac{\sin{x}}{x}}=0$$

$$\left{ \begin{array}{rl}
2x_1-x_2 =& 5, \
3x_1+2x_2=& 11
\end{array} \right.$$

$$D=\begin{vmatrix}2 & -1 \ 3 & 2\end{vmatrix}=7,D_1=\begin{vmatrix}5 & -1 \ 11 & 2\end{vmatrix}=21,D_2=\begin{vmatrix}2 & 5 \ 3 & 11\end{vmatrix}=7,$$
由 $D=7\neq0$知方程有唯一解：
$$x_1=\frac{D_1}{D}=3,x_2=\frac{D_2}{D}=1.$$

$$A=\begin{bmatrix}
1 & 3 & -2 & 2 \
0 & 2 & -1 & 3 \
-2 & 0 & 1 & 5
\end{bmatrix}
\xlongequal{\begin{aligned}r_3-2r_1 \ r_3-3r_2\end{aligned}}
\begin{bmatrix}1 & 3 & -2 & 2 \0 & 2 & -1 & 3 \0 & 0 & 1 & 0\end {bmatrix}
$$

https://www.zhihu.com/question/302351453
对称矩阵的解法
$A$普通矩阵
$A^{-1}$逆矩阵
$B=\frac{1}{|A|}A^$
$(A^)^{-1}=\frac{1}{|A|}A$
$AB=BA=E$
$A\frac{1}{|A|}A^=\frac{1}{|A|}A^A=E$
$$
\begin{vmatrix}
\frac{a}{ac-bc} & \frac{b}{ac-bc} \
\frac {c}{ac-bc} & \frac{d}{ac-bc}
\end{vmatrix}
$$
伴随矩阵
https://baike.baidu.com/item/%E4%BC%B4%E9%9A%8F%E7%9F%A9%E9%98%B5/10034983
https://www.zhihu.com/question/360606456

http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/xxzd02.html
分析，对。。。
要使。。。
则需。。。
故。。。
矩阵乘法与逆矩阵
行列式的定义
克拉默法则
逆矩阵
方阵的逆矩阵
https://zhuanlan.zhihu.com/p/95725643
行列式的性质与计算
二阶和三阶行列式
特征值与特征向量
矩阵的秩
http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0605.html
矩阵相似对角化
分块矩阵
n维向量及线性运算
向量空间
矩阵的运算
如果n阶方阵$A，B$可逆
$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$
$(A^{-1})^{-1}=A$
$(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}$
$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

https://zhuanlan.zhihu.com/p/340635814
https://zhuanlan.zhihu.com/p/186266784
$A^{-1}=B \Longleftrightarrow AB=E$
$(A^{-1})^{-1}=A\Longleftrightarrow A^{-1}A=E$
$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\Longleftrightarrow A^T(A^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=E=E^T$
$\frac{1}{\lambda}A^{-1}\times\lambda A=(\frac{1}{\lambda}\lambda)A^{-1}\times A = 1:E=E$

等价关系

1. 反身性：$A\Longleftrightarrow A$
2. 对称性：$若 A \Longleftrightarrow B，则 B\Longleftrightarrow A$
3. 传递性：$若 A \Longleftrightarrow B，B \Longleftrightarrow C，则 A \Longleftrightarrow C$

初等变换
$P_j+r_i$
$r_i+r_j$

阶梯形矩阵
可以画出一条阶梯线，先的下方全是0
每个台阶只有一个

$$\begin{matrix}
1 & 0 & -1 & 0 & 4 \
0 & 1 & -1 & 0 & 3 \
0 & 0 & 0 & 1 & -3 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}$$

设存在一个初等矩阵，$P_1,P_2,\dots,P_n$
使得$A=P_1P_2\dots P_n$
$\because$初等矩阵可逆$\therefore$$A$可逆
设 A 可逆，目标 A 的标准形为
$$F=\begin{bmatrix}E_r & 0 \ 0 & 0\end{bmatrix}$$
则 $F\backsim A_1$，即 $F$ 经过有限次初等变换，可变为 $A$，即存在有限次初等变换，使$P_1P_2\cdots PnFP{X+1}\cdots P_i=A$
$\because A_1,P_1,P_2\cdots P_i 均可逆$

$\therefore F$可逆
$\therefore r= n_1$
即 $E=F$，$\therefore A=P_1P_2\cdots P_rEP_r+\cdots P_i$

1. $r(AB)\leq \min{{r(A),r(B)}}$
2. $r\Biggl({\begin{pmatrix}A & 0 \ 0 & B\end{pmatrix}}\Biggl)\xlongequal{}r(A)+r(B)$
3. $r(子矩阵)\leq r(包含子矩阵的分块矩阵)$比如$r\Bigl((AB)\Bigl)\leq r\Biggl({\begin{pmatrix}A & B \ 0 & C\end{pmatrix}}\Biggl)$再如$r(A)\leq r\Biggl({\begin{pmatrix}A & B \ C & D\end{pmatrix}}\Biggl)$

特征值

https://zhuanlan.zhihu.com/p/142597513

极大线性无关组

https://blog.csdn.net/kukumer/article/details/107126031
有关秩的几个重要式子
https://blog.csdn.net/guoziqing506/article/details/80557920
奇异矩阵
矩阵的分解
sdf
sdf
sd
sd
sd
a
sd
d
f

https://blog.csdn.net/qq_38943651/category_9417843.html
https://www.zhihu.com/column/c_1086313475025907712

微积分初步

函数、导数与微分

我们首先学习导数和微积分等概念和有关的基本运算方法

变量、常量和函数

会变化的量叫变量，不会变化的量叫做常量

pi<const> = 3.14159265357
x = 3

自变量和因变量
现有两个互相联系的两个变量$x$和$y$，如果当$x$在其变域$\mathscr{D}$内任意取一数值时，都有确定的值与之对应，则称$y$时$x$的函数，$x$叫做自变量，函数$y$又称作因变量，写作：
$$y=f(x)$$

变域$\mathscr{D}$为自变量的变化范围，称作函数$f(x)$的定义域，而所有的数值则构成$y$的值域$\mathscr{R}$例如，

若$y$为$z$的函数，$y=f(x)$；而$z$又是变量$x$的函数，即$z=g(x)$，则称$y$为$x$的复合函数，记作
$$y=\phi(x)=f[g(x)]$$

导数

daoshu = function (fx, x, dx)
    assert (fx == "function", "第一个[参数]^(Parameter)必须是一个函数")
    assert (x, "请输入你想要计算的那个点")
    if not dx then dx = 1E-12 end
    return (fx(x+dx)-fx(x))/dx
end

如此这般操作，我们就实现了一个拥有强鲁棒性的导数计算工具，但是由于计算机底层运算本身所具有的不精确性，而且我们也没有使用较为复杂的方法进行计算，可能会导致结果有所偏差，但是误差应该会在1%以下

函数的极值点和极值

微分

不定积分

原函数

不定积分

不定积分的运算法则

定积分

定积分的概念

定积分的主要性质

牛顿-莱布尼茨公式