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高中数学公式合集
- 作者: thebadzhang
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- 评论
概率
排列组合
- 排列|组合
-:|:-:
$A_n^k = \frac {n!}{(n-k)!}$|$C_n^k = \frac {n!}{(n-k)!k!}$
均值与方差
- 期望|方差
-:|:-:
$E(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i pi)$|$D(X) = \sum{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i$
-
均值方差的性质
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$E(aX+b) = aE(X) + b$
- $D(aX+b) = a^2D(X)$
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两点分布与二项分布的均值、方差
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若$X$服从两点分布，则$E(X) = p$,$D(X) = p(1-p)$
- 若$X \sim B(n, p)$，则$E(X) = np$，$D(X) = np(1-p)$
-
不等式
（1）$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$
（2）$a^2+b^2\geq2ab$
（3）${a+b+c}{3}\geq{(abc)}^\frac{1}{3}$
（4）$a^3+b^3+c^3\geq 3abc$
（5）$\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n} \geq {(a_1a_2…a_n)}^\frac{1}{n}$
（6）$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$
-
均值不等式：
-
两数均值不等式：$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt {ab}$
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n 数均值不等式：$$\frac {a_1+a_2+ \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt [n]{a_1a_2 \cdots a_n}$$
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调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数
- $\frac {2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} \leq \frac {a+b}{2} \leq \sqrt {\frac{a^2 + b^2}{2}}$
-
-
柯西不等式：$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ab + cd)^2$
- 糖水不等式：$\frac {b}{a} < \frac {b+c}{a+c}$
三角函数
特殊值
- 正弦|余弦|正切
-|:-|:-
$\sin (0) = 0$|$\cos (0) = 1$|$\tan (0) = 0$
$\sin (\frac {\pi}{6}) = \frac {1}{2}$|$\cos (\frac {\pi}{6}) = \frac {\sqrt {3}}{2}$|$\tan (\frac {\pi}{6}) = \frac {\sqrt{3}}{3}$
$\sin (\frac {\pi}{4}) = \frac {\sqrt {2}}{2}$|$\cos (\frac {\pi}{4}) = \frac {\sqrt {2}}{2}$|$\tan (\frac {\pi}{4}) = 1$
$\sin (\frac {\pi}{3}) = \frac {\sqrt {3}}{2}$|$\cos (\frac {\pi}{3}) = \frac {1}{2}$|$\tan (\frac {\pi}{3}) = \sqrt {3}$
$\sin (\frac {\pi}{2}) = 1$|$\cos (\frac {\pi}{2}) = 0$|$\tan (\frac {\pi}{2}) = +\infty$
诱导公式
和差角公式
-
$\cos (a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
-
$\cos (a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$
-
$\sin (a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$
-
$\tan (a+b)=\frac{\tan a+ \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}$
- $\tan (a-b)=\frac{\tan a- \tan b}{1+ \tan a \cdot \tan b}$
和差化积
-
$\sin a+ \sin b=2 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}$
-
$\sin a- \sin b = 2 \cos \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2}$
-
$\cos a+ \cos b = 2 \cos \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}$
-
$\cos a- \cos b = -2 \sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2}$
-
$\tan a \pm \tan b = \frac {\sin (a \pm b)}{\cos a \cdot \cos b}$
- $\cot a \pm \cot b = \pm \frac {\sin (a \pm b)}{\sin a \cdot \sin b}$
积化和差
-
$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin (\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$
-
$\cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\sin (\alpha - \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$
-
$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos (\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$
- $\sin \alpha \sin \beta = - \frac{1}{2}[\cos (\alpha - \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$
二倍角
-
$\sin (2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$
-
$\cos (2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2 \cos^2(x) - 1 = 1 - 2 \sin^2(x)$
- $\tan (2x) = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a}$
正弦定理
$$\frac{a}{\sin(A)}=\frac{c}{sin(C)}=\frac{c}{sin(C)}=2R$$
余弦定理
$$cos(C) = \frac {a^2+b^2-c^2}{2ab}$$
升幂降角
升角降幂
$$S_{\triangle ABC} = \frac {1}{2}AB \sin C$$
向量
数列
$a_n = a_1 + (n-1)d$
若$a_n$是等差数列，则有
$$S_n = \frac {(a_1 + a_n) * n}{2}$$
$a_n = a_1 q^{n-1}$
若$a_n$是等比数列，则有
$$S_n = \frac {a_1 * (1 - q^n)}{1-q}$$
$a_n = Sn - S{n-1}$
-
裂项相消
-
$a_n=\frac{1}{n(n+1)}$
-
$$\begin{aligned}S_n&=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \\ &=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1} \\ &=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \\ &=1-\frac{1}{n+1}\end{aligned}$$
- 错位相减
函数
奇函数：$f(x) = -f(x)$
偶函数：$f(x)=f(-x)$
$a^r \times a^s = a^{r+s}$
${(ab)}^r = a^rb^r$
${(a^r)}^s=a^{rs}$
二次函数
-
$\Delta=b^2-4ac$
-
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2ab}$
- 韦达定理
$\left\{\begin{aligned}x&=1\\y&=2+x\end{aligned}\right.$
复数
$a+bi$
空间几何
$S_{圆柱体}=2\pi r(r+l)$
$V_{柱体}=Sh$
$S_{圆锥}$
$V_{锥}$
$S_{圆台}$
$V_{台}$
$S_{球}$
$V_{球}$
解析几何
直线$y = kx + b$$Ax + By + C = 0$
$y = \frac {1}{x}$
$y = ax^2$
圆锥曲线
圆$x^2 + y^2 = r^2$
椭圆$\frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} = 1$
与椭圆相交的直线，交点线段长：$|AB| = \sqrt{1+k^2}|x_1 - x_2| = \sqrt{1+\frac{1}{k^2}}|y_1 - y_2|$
抛物线$x = 2py$
抛物线焦点弦长：$|AB| = x_1 + x_2 + p = \frac{2p}{\sin^2 \theta} \geq 2p$
$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|} = \frac{2}{p}$
$x_1x_2 = \frac{p^2}{4}$ $y_1y_2 = -p^2$
$|AF| = \frac{p}{1- \cos \theta}$$|BF| = \frac{p}{1+ \cos \theta}$
$S_{\triangle ABC} = \frac{p^2}{2 \sin \theta}$
双曲线$\frac {x^2}{a^2} - \frac {y^2}{b^2} = 1$
渐近线$y = \pm \frac {b}{a} x$
斜率公式：$k_{p_1p_2} = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$
倾斜角$\alpha$：$k = \tan \alpha (\alpha \neq \frac{\pi}{2})$
点到直线距离公式：$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
中点公式：$x = \frac{x_1+x_2}{2}$$x = \frac{y_1+y_2}{2}$
重心公式：$x = \frac{x_1+x_2+x_3}{3}$$y = \frac{y_1+y_2+y_3}{3}$
线段长度：$s=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
对数
$(N>0,a>0,a\neq 1)$
$\log_a{MN}=\log_aM+\log_aN$
$\log^a{\frac{M}{N}}=\log_aM-\log_aN$
$\log_a{N^n}=n\log_aN$
$a^{\log_a{N}} = N$
$\log_a{a} = 1$
$\log_a{1} = 0$
$(a>0且a \neq 1, c>0 且 c \neq 1)$
$\log_a{b} = \frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$
导数
- 原函数|导函数
-:|:-:
$kx + b$|$k$
$x^a$|$ax^{a-1}$
$\frac{1}{x}$|$- \frac{1}{x^2}$
$\ln{x}$|$\frac{1}{x}$
$a^x$|$a^x \ln{a}$
$log_a{x}$|$\frac{1}{x \ln{a}}$
$\sin x$|$\cos x$
$\cos x$|$-\sin x$
$uv$|$uv'+u'v$
$u+v$|$u'+v'$
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